Encontre a transformada ou a transformada inversa.
f(t)=
e^-k t(a cos t+b sen t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=e^-k tl(acos t + bsin tr). Vamos usar o conteúdo de transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no domínio de s.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é dada por
Lf(t)=F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Pelo teorema do terceiro deslocamento, para qualquer função g(t):
Le^-k tg(t)=G(s+k),
sendo G(s)=Lg(t)

Passo 3

Sabemos as transformadas básicas:
Lcos t=ss^2+1, Lsin t=1s^2+1
Então aplicando o deslocamento sto s+k:
Le^-k tcos t=s+k(s+k)^2+1, Le^-k tsin t=1(s+k)^2+1

Passo 4

Como f(t) é combinação linear, sua transformada é:
F(s)=acdots+k(s+k)^2+1+bcdot1(s+k)^2+1
Podemos reunir em um só quociente.
Ao combinar numerador e denominador obtemos a resposta final abaixo.

Resposta

F(s)=a,(s+k)+b(s+k)^2+1

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