(1,5 pontos) Dada a função llx-252(raizx-5) & se x neq 25 a^2-4 & se x=25, determine para quais valores de a f(x) é contínua em x=25. Obs: não utilizar a regra de L’Hospital.

Passo 1

O enunciado define a função por partes para estudar continuidade em x = 25: para x ≠ 25 temos f(x) = x-252(raizx-5) e em x = 25 temos f(25) = a^2 - 4. O conteúdo envolvido é continuidade de funções em ponto e vamos precisar usar a definição de limite e fatoração para simplificar a expressão que dá 0/0.

Passo 2

Precisamos calcular limxto25x-252(raizx-5). Observe que x-25=(raizx)^2-5^2, então fazemos a fatoração de soma e diferença de quadrados:
x-252(raizx-5)=(raizx-5)(raizx+5)2(raizx-5)=raizx+52
Agora aplicamos o limite em x→25 na forma simplificada:
limxto25raizx+52=raiz25+52=5+52=5

Passo 3

Para que f seja contínua em x = 25, exige-se que limxto25f(x)=f(25). Portanto igualamos o valor do limite a a^2-4 e resolvemos:
a^2-4=5Longrightarrow a^2=9Longrightarrow a=pm3

Resposta

f(x) é contínua em x = 25 se e somente se a = 3 ou a = -3.

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