Faça o que pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que:
lim x 4(1+x5)^1x-4=raiz[5]e

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto4l(x+15r)^1x-4
Esse tipo de problema envolve um limite com forma indeterminada do tipo 1^infty, e para resolver vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural e depois aplicar a exponencial.

Passo 2

Chamando o valor do limite de L, temos
L = limxto4l(x+15r)^1x-4
Observamos que quando xto4, o termo dentro do parêntese vai a 1 e o expoente vai a pminfty, caracterizando a indeterminação 1^infty.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln L = limxto4 lnl(x+15r)x-4
Aqui usamos a propriedade ln(a^b)=bln a.

Passo 4

Fazendo a mudança de variável t = x-4, quando xto4 temos tto0 e x+1 = 5 + t. Assim,
ln L = limtto0 lnl(1 + tfract5r)t

Passo 5

Usando o limite fundamental
limuto0ln(1+u)u = 1,
com u = tfract5, podemos escrever
ln(1 + tfract5)t = 15cdot ln(1 + tfract5)tfract5 to 15
Logo ln L = tfrac15 e, aplicando a exponencial, obtemos L = e^tfrac15.

Resposta

\sqrt[5]{e}

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