Encontre a transformada ou a transformada inversa.
f(t)=5 e^-a t sen omega t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=5e^-a tsin(omega t). Estamos em Transformadas de Laplace e vamos precisar da definição da transformada e da propriedade de deslocamento no eixo s.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Além disso, sabemos que para a função sin(omega t) vale
$$
\mathcal{L}{\sin(\omega t)}(s)=\frac{\omega}{s2+\omega2}. Lsin(omega t)(s)=omegas^2+omega^2ã\mathcal{L}{e^{-a t}f(t)}(s)=F(s+a),$$
onde e^-a tf(t).

Passo 3

Aplicando essa propriedade a sin(omega t), temos
Le^-a tsin(omega t)(s)=omega(s+a)^2+omega^2
Como há ainda o fator constante 5 em f(t), por linearidade da transformada, multiplicamos o resultado por 5.
Portanto, juntando tudo, obtemos a transformada de f(t):
L5e^-a tsin(omega t)(s)=5omega(s+a)^2+omega^2

Resposta

L5e^-a tsin(omega t)(s)=5omega(s+a)^2+omega^2.

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