Faça o que pede em cada item, sem utilizar a regra de L’Hospital:
M ostre que:
lim x -infty x+2raiz9 x^2+1=-13

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite limxto -inftyx+2raiz9x^2+1. Este é um problema de limites envolvendo funções racionais e radicais; para resolvê-lo sem usar L’Hospital, vamos usar fatoração de x^2 dentro da raiz e cuidar do valor absoluto de x.

Passo 2

Escrevemos a raiz extraindo x^2:
raiz9x^2+1=raizx^2l(9+tfrac1x^2r)=|x|raiz9+tfrac1x^2

Passo 3

Como estamos olhando o limite quando xto -infty, temos (|x|=-x. Assim a expressão vira:
x+2raiz9x^2+1=x+2-x,raiz9+tfrac1x^2=-x+2xraiz9+tfrac1x^2

Passo 4

Agora separamos o numerador:
-x+2xraiz9+tfrac1x^2=-l(xxraiz9+tfrac1x^2+2xraiz9+tfrac1x^2r) =-l(1raiz9+tfrac1x^2+2xraiz9+tfrac1x^2r)

Passo 5

Analisando cada parcela quando xto -infty:
  • Em 1raiz9+1/x^2, temos 1/x^2to0, logo isso tende a 1/raiz9=1/3.
  • Em 2xraiz9+1/x^2, o denominador cresce em módulo e muda de sinal (pois x é grande e negativo), logo essa parcela tende a 0.
    Portanto o parêntese interno tende a 1/3+0=1/3.

Passo 6

Como há um sinal negativo na frente, o limite final é
-13

Resposta

-\frac{1}{3}

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