Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
F(s)=3 s+1(s-1)(s^2+1).

Passo 1

O exercício pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=3s+1(s-1)(s^2+1). O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e, em seguida, usar as transformadas inversas conhecidas para cada termo.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais:
3s+1(s-1)(s^2+1) = As-1 + Bs + Cs^2+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (s-1)(s^2+1) para achar A,B,C:
3s+1 = A(s^2+1) + (Bs+C)(s-1)
Expandindo o lado direito:
A s^2 + A + Bs^2 + Cs - Bs - C = (A+B)s^2 + (C - B)s + (A - C)
Isso deve ser igual a 3s+1, ou seja,
(A+B)s^2 + (C - B)s + (A - C) = 0,s^2 + 3s + 1

Passo 4

Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
  1. A + B = 0
  2. C - B = 3
  3. A - C = 1.
    Da equação 1, B = -A. Substituindo nas outras:
  • Na 2: C + A = 3.
  • Na 3: A - C = 1.
    Somando essas duas, 2A = 4 então A=2. Daí C = 3 - A = 1 e B = -2.

Passo 5

Com os valores, reescrevemos F(s):
F(s) = 2s-1 + -2s + 1s^2+1 = 2s-1 - 2ss^2+1 + 1s^2+1

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando fórmulas padrão:
  • L^-12/(s-1) = 2e^t.
  • L^-12s/(s^2+1) = 2cos t, então -2s/(s^2+1) vira (-2\cos t).
  • L^-11/(s^2+1) = sin t.
    Somando tudo, temos a resposta final.

Passo 7

Juntando os resultados, a transformada inversa é
f(t) = 2e^t - 2cos t + sin t

Resposta

f(t) = 2e^{t} - 2\cos t + \sin t

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