Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
.
Passo 1
O exercício pede a transformada inversa de Laplace de
. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e, em seguida, usar as transformadas inversas conhecidas para cada termo.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para achar
:
Expandindo o lado direito:
Isso deve ser igual a
, ou seja,
Passo 4
Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
-
-
-
.
Da equação 1,. Substituindo nas outras:
- Na 2:
. - Na 3:
.
Somando essas duas,então . Daí e .
Passo 5
Com os valores, reescrevemos
:
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando fórmulas padrão:
-
. -
, então vira (-2\cos t). -
.
Somando tudo, temos a resposta final.
Passo 7
Juntando os resultados, a transformada inversa é
Resposta
f(t) = 2e^{t} - 2\cos t + \sin t