Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
O conteúdo principal é transformada inversa de Laplace usando frações parciais. Para resolver, vamos decompor F(s) em termos cujos inversos sejam tabelados.
Passo 2
Vamos escrever a decomposição em frações parciais na forma
Em seguida, igualamos numeradores: 3s^{2}-2s-1 = A(s^{2}+1)+(Bs+C)(s-3).
Passo 3
Primeiro, encontramos A avaliando o resíduo em s=3: substituindo s=3 em (3s{2}-2s-1)/(s{2}+1) obtemos
Passo 4
Com A=2, escrevemos
Expandindo o lado direito:
Igualamos coeficientes:
(2+B)=3 ⇒ B=1,
-3B+C=-2 ⇒ -3+C=-2 ⇒ C=1,
2-3C=-1 ⇒ 2-3= -1 (confere).
(2+B)=3 ⇒ B=1,
-3B+C=-2 ⇒ -3+C=-2 ⇒ C=1,
2-3C=-1 ⇒ 2-3= -1 (confere).
Passo 5
Portanto a decomposição é
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
Passo 6
Sabemos que
Como
temos
Resposta
f(t)=2e^{3t}+\cos t+\sin t