Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
F(s)=3 s^2-2 s-1(s-3)(s^2+1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
F(s)=3s^2-2s-1(s-3)(s^2+1)
O conteúdo principal é transformada inversa de Laplace usando frações parciais. Para resolver, vamos decompor F(s) em termos cujos inversos sejam tabelados.

Passo 2

Vamos escrever a decomposição em frações parciais na forma
3s^2-2s-1(s-3)(s^2+1)=As-3+Bs+Cs^2+1
Em seguida, igualamos numeradores: 3s^{2}-2s-1 = A(s^{2}+1)+(Bs+C)(s-3).

Passo 3

Primeiro, encontramos A avaliando o resíduo em s=3: substituindo s=3 em (3s{2}-2s-1)/(s{2}+1) obtemos
A=3cdot3^2-2cdot3-13^2+1=27-6-110=2010=2

Passo 4

Com A=2, escrevemos
3s^2-2s-1=2(s^2+1)+(Bs+C)(s-3)
Expandindo o lado direito:
2s^2+2+Bs^2-3Bs+Cs-3C=(2+B)s^2+(-3B+C)s+(2-3C)
Igualamos coeficientes:
(2+B)=3 ⇒ B=1,
-3B+C=-2 ⇒ -3+C=-2 ⇒ C=1,
2-3C=-1 ⇒ 2-3= -1 (confere).

Passo 5

Portanto a decomposição é
F(s)=2s-3+s+1s^2+1
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:

Passo 6

Sabemos que
L^-1tfrac2s-3=2e^3t,
L^-1tfracss^2+1=cos t,
L^-1tfrac1s^2+1=sin t
Como
s+1s^2+1=ss^2+1+1s^2+1,
temos
L^-1tfracs+1s^2+1=cos t+sin t

Resposta

f(t)=2e^{3t}+\cos t+\sin t

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