Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
F(s)=s+1s^2+4 s+13.

Passo 1

O exercício pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=s+1s^2+4s+13. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace usando o método de completar quadrado e tabelas de transformadas conhecidas, em especial as de e^-atcos(bt) e e^-atsin(bt).

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador para identificar um padrão de segundo grau deslocado. Observamos que
s^2+4s+13=(s+2)^2+9

Passo 3

Em seguida, reescrevemos o numerador s+1 em função de s+2. Fazemos:
s+1=(s+2)-1

Passo 4

Substituindo essas expressões em F(s), obtemos
F(s)=(s+2)-1(s+2)^2+3^2=s+2(s+2)^2+3^2-1(s+2)^2+3^2
Agora utilizamos as transformadas inversas conhecidas. De tabela, sabemos que:
L^-1ls+2(s+2)^2+3^2r(t)=e^-2tcos(3t)
e também
L^-1l3(s+2)^2+3^2r(t)=e^-2tsin(3t)

Passo 5

Para o segundo termo temos numerador 1 em vez de 3, ou seja,
1(s+2)^2+3^2=13cdot3(s+2)^2+3^2
Logo, a transformada inversa do segundo termo é tfrac13e^-2tsin(3t), com sinal negativo vindo da decomposição.
Combinando os resultados, obtemos a função no domínio do tempo.

Resposta

f(t)=e^-2tcos(3t)-13e^-2tsin(3t)

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