Encontre a transformada inversa da função abaixo, utlizando o método que achar mais conveniente/fácil.
F(s)=2 s^2-4(s+1)(s-2)(s-3).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=2s^2-4(s+1)(s-2)(s-3). O conteúdo é transformada de Laplace inversa e vamos precisar usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos F(s) em frações parciais. Queremos constantes A,B,C tais que
F(s)=2s^2-4(s+1)(s-2)(s-3)=As+1+Bs-2+Cs-3

Passo 3

Multiplicando por (s+1)(s-2)(s-3) e igualando numeradores, temos
2s^2-4 = A(s-2)(s-3)+B(s+1)(s-3)+C(s+1)(s-2)

Passo 4

Para achar A,B,C, avaliaremos em pontos estratégicos:
  • Para s=-1: 2(-1)^2-4=-2= A,(-3)(-4)=12A, logo A=-tfrac16.
  • Para s=2: 2cdot2^2-4=4= B,(3)(-1)=-3B, logo B=-tfrac43.
  • Para s=3: 2cdot3^2-4=14= C,(4)(1)=4C, logo C=tfrac72.

Passo 5

Substituindo de volta,
F(s)=-161s+1-431s-2+721s-3

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa de cada termo, sabendo que L^-11/(s-a)=e^at.

Resposta

f(t)=-tfrac16e^-t-tfrac43e^2t+tfrac72e^3t

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