Encontre a transformada inversa da função F(s) abaixo:
6 s-4s^2-4 s+20

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para encaixar em formas que a gente já conhece da tabela de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador s^2 - 4s + 20 = (s^2 - 4s + 4) + 16 = (s - 2)^2 + 16 . A gente pode completar o quadrado pra deixar isso mais fácil de trabalhar. Completar o quadrado significa reescrever a expressão de forma que fique algo como F(s) = 6s - 4(s - 2)^2 + 16 .
Então, para :
Agora, a gente tem:

Passo 3

Agora, vamos ajustar o numerador 6s - 4 = 6(s - 2) + 8 para que fique em termos de F(s) = 6(s - 2) + 8(s - 2)^2 + 16 = 6(s - 2)(s - 2)^2 + 16 + 8(s - 2)^2 + 16 , já que o denominador tem . Vamos reescrever da seguinte forma:
Então, substituindo de volta na função:

Passo 4

Agora, vamos separar isso em duas frações:
F(s) = 6 cdot (s - 2)(s - 2)^2 + 16 + 8 cdot 1(s - 2)^2 + 16
Essa separação é útil porque a gente reconhece padrões das tabelas de transformadas de Laplace. Especificamente:
  • corresponde a
  • corresponde a

Passo 5

Vamos identificar a = 2 e b^2 = 16 Rightarrow b = 4 e 6 cdot (s - 2)(s - 2)^2 + 16 Rightarrow 6e^2t cos(4t) na nossa expressão:
8 cdot 1(s - 2)^2 + 16 = 8 cdot 4(s - 2)^2 + 16 cdot 14 = 2 cdot 4(s - 2)^2 + 16 Rightarrow 2e^2t sin(4t)
Agora, aplicando as fórmulas:

Resposta

A transformada inversa de f(t) = 6e^2t cos(4t) + 2e^2t sin(4t) é:

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