Encontre a transformada inversa da função F(s) abaixo:
s(s+3)^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como aplicar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a teorema de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma técnica que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência . A transformada inversa faz o caminho contrário, ou seja, retorna a função original no tempo.

Passo 3

Observando a função L^-1 s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a t cos(bt) , percebemos que ela se assemelha à forma padrão que usamos na tabela de transformadas de Laplace para obter funções trigonométricas. A forma padrão que vamos utilizar é:

Passo 4

No nosso caso, podemos reescrever F(s) = s(s+3)^2+1 = (s+3) - 3(s+3)^2+1 = s+3(s+3)^2+1 - 3(s+3)^2+1 de uma maneira que se encaixe na forma padrão. Vamos separar o numerador:

Passo 5

Agora, aplicando a transformada inversa a cada termo separadamente:
  1. Para o primeiro termo L^-1 s+3(s+3)^2+1 = e^-3 t cos(t) , usando a forma padrão com L^-1 3(s+3)^2+1 = 3 e^-3 t sin(t) e , temos:
  1. Para o segundo termo , reconhecemos que ele se relaciona com a transformada de uma função seno:

Passo 6

Juntando os dois resultados, a transformada inversa de f(t) = e^-3 t cos(t) - 3 e^-3 t sin(t) fica:

Resposta

A transformada inversa de f(t) = e^-3 t cos(t) - 3 e^-3 t sin(t) é:

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