Encontre a transformada inversa da função
abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada inversa da função
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como aplicar as propriedades da transformada de Laplace, especialmente a teorema de deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma técnica que transforma uma função do domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A transformada inversa faz o caminho contrário, ou seja, retorna a função original no tempo.
Passo 3
Observando a função
, percebemos que ela se assemelha à forma padrão que usamos na tabela de transformadas de Laplace para obter funções trigonométricas. A forma padrão que vamos utilizar é:
Passo 4
No nosso caso, podemos reescrever
de uma maneira que se encaixe na forma padrão. Vamos separar o numerador:
Passo 5
Agora, aplicando a transformada inversa a cada termo separadamente:
- Para o primeiro termo
, usando a forma padrão com e , temos:
- Para o segundo termo
, reconhecemos que ele se relaciona com a transformada de uma função seno:
Passo 6
Juntando os dois resultados, a transformada inversa de
fica:
Resposta
A transformada inversa de
é: