Justifique que:
Lcosh (a t) sen(a t)=a(s^2+2 a^2)s^4+4 a^4
A partir destas, mostre que
L^-11s^4+4 a^4=14 a^3[cosh (a t) sen(a t)-senh(a t) cos (a t)]
Sugestão: Para mostrar (a), (b) e ©, utilize que
cosh (a t)=e^a t+e^-a t2 e senh(a t)=e^a t-e^-a t2

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule a transformada de Laplace de cosh(a t)sin(a t) e, a partir disso e de outra transformada semelhante, mostre que L^-11/(s^4+4a^4)=dfrac14a^3[cosh(a t)sin(a t)-sinh(a t)cos(a t)]. O conteúdo envolve: definições de cosh e sinh, e uso das fórmulas de Laplace de e^alpha tsin(beta t) e e^alpha tcos(beta t).

Passo 2

Para achar Lcosh(a t)sin(a t), escrevemos
cosh(a t)sin(a t)=tfrac12l(e^a tsin(a t)+e^-a tsin(a t)r)
Usamos então a fórmula
Le^alpha tsin(beta t)=beta(s-alpha)^2+beta^2
e aplicamos com alpha=pm a e beta=a.

Passo 3

Calculamos separadamente
Le^a tsin(a t)=a(s-a)^2+a^2,
Le^-a tsin(a t)=a(s+a)^2+a^2
Somando e colocando sobre denominador comum obtemos
Lcosh(a t)sin(a t) =12l(a(s-a)^2+a^2+a(s+a)^2+a^2r) =al(s^2+2a^2r)s^4+4a^4

Passo 4

De modo análogo, escrevemos
sinh(a t)cos(a t)=tfrac12l(e^a tcos(a t)-e^-a tcos(a t)r)
e usamos
Le^alpha tcos(beta t)= racs-alpha(s-alpha)^2+beta^2
para encontrar
Lsinh(a t)cos(a t)= racal(s^2-2a^2r)s^4+4a^4

Passo 5

Subtraindo as duas transformadas temos
Lcosh(a t)sin(a t)-Lsinh(a t)cos(a t) =a(s^2+2a^2)-a(s^2-2a^2)s^4+4a^4 =4a^3s^4+4a^4
Pela linearidade da transformada inversa, isso implica
L^-1l1s^4+4a^4r =14a^3l[cosh(a t)sin(a t)-sinh(a t)cos(a t)r]

Resposta

L^-1ltfrac1s^4+4a^4r=14a^3l[cosh(a t)sin(a t)-sinh(a t)cos(a t)r].

Exercícios relacionados