Resolva as EDOs e/ou PVI© d yd x=(x+y+3)^2, y(0)=-3
R.: y(x)=tan x-x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem dydx = (x + y + 3)^2 com condição inicial y(0) = -3. O conteúdo aqui envolve reconhecer uma mudança de variável que transforme essa EDO em uma separável.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição z = x + y + 3. Então, derivando em relação a x:
dzdx = ddx(x + y + 3) = 1 + dydx = 1 + (x + y + 3)^2 = 1 + z^2
Agora a EDO está na forma separável dzdx = 1 + z^2.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos:
integral dz1 + z^2 = integral dx
Sabemos que integral dz1 + z^2 = arctan z. Logo,
arctan z = x + C
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original, temos z = tan(x + C), ou seja:
x + y + 3 = tan(x + C)
Agora aplicamos a condição inicial: em x=0, y(0)=-3 implica
$$
z(0) = 0 + (-3) + 3 = 0 = \tan© \implies C = 0$$
(considerando a solução principal).

Passo 5

Substituindo C=0 na expressão, obtemos
x + y + 3 = tan x
Isolando y:
y(x) = tan x - x - 3

Resposta

y(x) = \tan x - x - 3

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