Encontre a transformada inversa de Laplace das funções
H(s)=1(s+1)(s-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de H(s)=1(s+1)(s-1). Estamos no conteúdo de transformadas de Laplace e precisamos usar a técnica de frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Vamos decompor H(s) em frações parciais. Assumimos que 1(s+1)(s-1)=As-1+Bs+1. Então temos:
1 = A(s+1) + B(s-1)
Para encontrar A e B, basta substituir valores de s:
- Se s=1,
1 = A(1+1) + B(0) implies A = 12
  • Se s=-1,
1 = A(0) + B(-1-1) implies B = -12

Passo 3

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace usando a propriedade conhecida
L^-1tfrac1s-a = e^at (t>=0)
Assim,
L^-1tfracAs-1 = A e^t,
L^-1tfracBs+1 = B e^-t

Passo 4

Por fim, somamos as duas parcelas para obter a resposta em função do tempo:
h(t) = tfrac12 e^t - tfrac12 e^-t
Reconhecendo que sinh(t)=e^t-e^-t2, podemos escrever em forma mais compacta.

Resposta

h(t)=sinh(t)

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