Encontre a transformada inversa (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
12s^2+4 s+20

Passo 1

Nesse exercício a gente vai encontrar a transformada inversa de Laplace da função F(s)=12s^2+4s+20. O conteúdo é transformada inversa de Laplace envolvendo quadrado perfeito no denominador e uso das fórmulas padrões de senos e cossenos amortecidos.

Passo 2

O primeiro passo é completar o quadrado no denominador. A gente reescreve s^2+4s+20 como
s^2+4s+20=(s^2+4s+4)+16=(s+2)^2+4^2

Passo 3

Agora queremos escrever 12(s+2)^2+4^2 em termos das formas padrão:
b(s+a)^2+b^2long<=ftrightarrow e^-atsin(bt), s+a(s+a)^2+b^2long<=ftrightarrow e^-atcos(bt)

Passo 4

O numerador 12 não tem dependência em s, então tentamos
12(s+2)^2+4^2=As+2(s+2)^2+4^2+B4(s+2)^2+4^2 Como não há termo em s no numerador original, forçamos A=0 e
12= A,(s+2)+4Bimplies 12=4Bimplies B=3

Passo 5

Isso deixa
12(s+2)^2+4^2=3cdot4(s+2)^2+4^2

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula padrão para senos amortecidos:
L^-1l4(s+2)^2+4^2r=e^-2tsin(4t)

Passo 7

Então a transformada inversa de F(s) é
f(t)=3,e^-2tsin(4t), t>=0

Resposta

3e^{-2t}\sin(4t)

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