A igualdade mathscrLf(t) g(t)-mathscrLf(t) mathscrLg(t) se verifica? Explique.

Passo 1

A questão quer saber se vale a igualdade entre a transformada de Laplace do produto de duas funções e o produto das transformadas de Laplace de cada uma, ou seja, se mathscrLf(t)g(t) = mathscrLf(t);mathscrLg(t). O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar usar a definição de transformada e a propriedade de convolução.

Passo 2

Vamos escrever as duas expressões usando a definição da transformada de Laplace. Para uma função h(t), temos
mathscrLh(t)(s)=integral0^infty e^-sth(t),dt
Logo:
mathscrLf(t)g(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t)g(t),dt,
mathscrLf(t)(s);mathscrLg(t)(s)=l(integral0^infty e^-suf(u),dur)l(integral0^infty e^-svg(v),dvr)

Passo 3

Reparando bem, na segunda expressão temos o produto de duas integrais com variáveis de integração diferentes ( u e v). Já na primeira temos uma única integral com produto f(t)g(t). Em geral não dá para trocar uma integral única pelo produto de duas integrais diferentes, então não há igualdade em geral.
Na verdade, a propriedade clássica diz que produto no domínio do tempo vira convolução no domínio de s:
mathscrLf(t)g(t)(s)=12pi iintegralc-iinfty^c+iinftyF(p),G(s-p),dp,
onde F(s)=mathscrLf(t)(s) e G(s)=mathscrLg(t)(s). Além disso, convolução em tempo vira produto em s:
mathscrL(f* g)(t)(s)=F(s),G(s)
Ou seja, é justamente o contrário do que a igualdade proposta sugere.

Passo 4

Para fixar a ideia, basta um exemplo simples: escolhemos f(t)=g(t)=1. Então
mathscrLf(t)g(t)(s)=integral0^infty e^-st,dt=1s,
enquanto
mathscrLf(t)(s);mathscrLg(t)(s)=1scdot1s=1s^2,
que é diferente de 1/s. Isso mostra que a igualdade não se mantém.

Passo 5

Logo, de maneira geral, não vale ,mathscrLf(t)g(t)neqmathscrLf(t);mathscrLg(t), salvo em casos muito especiais e triviais das funções.

Resposta

A igualdade não se verifica em geral. A transformada de Laplace do produto de duas funções não é o produto das transformadas, mas sim envolve uma convolução no domínio de s.

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