A igualdade
se verifica? Explique.
Passo 1
A questão quer saber se vale a igualdade entre a transformada de Laplace do produto de duas funções e o produto das transformadas de Laplace de cada uma, ou seja, se
. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar usar a definição de transformada e a propriedade de convolução.
Passo 2
Vamos escrever as duas expressões usando a definição da transformada de Laplace. Para uma função
, temos
Logo:
Passo 3
Reparando bem, na segunda expressão temos o produto de duas integrais com variáveis de integração diferentes (
e
). Já na primeira temos uma única integral com produto
. Em geral não dá para trocar uma integral única pelo produto de duas integrais diferentes, então não há igualdade em geral.
Na verdade, a propriedade clássica diz que produto no domínio do tempo vira convolução no domínio de :
Na verdade, a propriedade clássica diz que produto no domínio do tempo vira convolução no domínio de
onde
Ou seja, é justamente o contrário do que a igualdade proposta sugere.
Passo 4
Para fixar a ideia, basta um exemplo simples: escolhemos
. Então
enquanto
que é diferente de
. Isso mostra que a igualdade não se mantém.
Passo 5
Logo, de maneira geral, não vale
, salvo em casos muito especiais e triviais das funções.
Resposta
A igualdade não se verifica em geral. A transformada de Laplace do produto de duas funções não é o produto das transformadas, mas sim envolve uma convolução no domínio de
.