Encontre a transformada inversa (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
15s^2-4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de 15s^2-4. Isso se encaixa no conteúdo de transformada de Laplace inversa, e vamos precisar usar frações parciais e a tabela L^-11/(s-a)=e^at.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador e montamos a decomposição em frações parciais:
15s^2-4 = 15(s-2)(s+2) = As-2 + Bs+2

Passo 3

Multiplicamos pelos denominadores para achar A e B:
A(s+2) + B(s-2) = 15

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de s e termo independente:
  • Coeficiente de s: A + B = 0.
  • Termo constante: 2A - 2B = 15.

Passo 5

Resolvendo esse sistema, de A + B = 0 segue A = -B. Substituindo em 2A - 2B = 15
2(-B) - 2B = 15 Rightarrow -4B = 15 Rightarrow B = -154, e portanto A = 154.

Passo 6

Então podemos escrever
15s^2-4 = 15/4s-2 - 15/4s+2

Passo 7

Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando L^-11/(s-a)=e^at:
  • L^-1(15/4)/(s-2) = 154e^2t.
  • L^-1(15/4)/(s+2) = 154e^-2t.
    Portanto a solução é a diferença desses expoentes multiplicados por 15/4.

Resposta

f(t)=154l(e^2t-e^-2tr)=152sinh(2t).

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