Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: encontre a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
- A função é
, onde é a variável real e é um parâmetro (constante). - Queremos calcular a transformada de Laplace, que envolve integrar no semi-eixo
. - A resposta deve incluir a expressão em função de
e a região de convergência em termos de e .
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar):
Aqui
é, em geral, um número complexo e a integral converge somente para valores de
que satisfazem uma condição (a chamada região de convergência). Nosso objetivo é aplicar essa definição à função
.
Passo 3
Uma identidade útil para
que facilita o cálculo é a definição em termos de exponenciais:
Explicação rápida:
é a versão hiperbólica do seno, e por definição
. Aqui substituímos
.
Passo 4
Usamos a linearidade da transformada de Laplace, isto é,
para constantes
. Aplicando isso à identidade acima:
Passo 5
Agora calculamos a transformada de
de forma geral. Pelo definição,
Para a integral
converge quando
e vale
. Assim, com
, obtemos
válido para
, isto é,
.
Passo 6
Aplicando o resultado do passo anterior aos dois exponenciais do passo 4:
Para que ambas as transformadas existam simultaneamente precisamos de
. Se
for real, isso fica
(ou simplesmente
quando
real).
Passo 7
Substituindo no passo 4 e simplificando:
Colocando em denominador comum:
Portanto a transformada simplifica para
, sob a condição de convergência já identificada.
Passo 8
Resumo da condição de existência: a expressão obtida é válida quando as integrais usadas convergem simultaneamente, isto é, para
Se
for real, isso equivale a
.