Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
\operatorname{sinh} (b x)

Passo 1

O enunciado pede: encontre a transformada de Laplace da função \operatorname{sinh}(bx).
Informações dadas:
  • A função é \operatorname{sinh}(bx), onde x é a variável real e b é um parâmetro (constante).
  • Queremos calcular a transformada de Laplace, que envolve integrar no semi-eixo x\ge 0.
  • A resposta deve incluir a expressão em função de s e a região de convergência em termos de s e b.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a fórmula que vamos usar):
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,f(x)\,dx.
Aqui s é, em geral, um número complexo e a integral converge somente para valores de s que satisfazem uma condição (a chamada região de convergência). Nosso objetivo é aplicar essa definição à função f(x)=\operatorname{sinh}(bx).

Passo 3

Uma identidade útil para \operatorname{sinh} que facilita o cálculo é a definição em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(bx)=\frac{e^{b x}-e^{-b x}}{2}.
Explicação rápida: \operatorname{sinh} é a versão hiperbólica do seno, e por definição \operatorname{sinh}(t)=(e^{t}-e^{-t})/2. Aqui substituímos t=bx.

Passo 4

Usamos a linearidade da transformada de Laplace, isto é,
\mathcal{L}\{a f(x)+c g(x)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(x)\}(s)+c\,\mathcal{L}\{g(x)\}(s)
para constantes a,c. Aplicando isso à identidade acima:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{b x}\}(s)-\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-b x}\}(s).

Passo 5

Agora calculamos a transformada de e^{a x} de forma geral. Pelo definição,
\mathcal{L}\{e^{a x}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} e^{a x}\,dx=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)x}\,dx.
Para a integral \int_{0}^{\infty} e^{-k x}\,dx converge quando \Re(k)>0 e vale \dfrac{1}{k}. Assim, com k=s-a, obtemos
\mathcal{L}\{e^{a x}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válido para \Re(s-a)>0, isto é, \Re(s)>\Re(a).

Passo 6

Aplicando o resultado do passo anterior aos dois exponenciais do passo 4:
\mathcal{L}\{e^{b x}\}(s)=\frac{1}{s-b}\quad\text{(para \(\Re(s)>\Re(b)\))},
\mathcal{L}\{e^{-b x}\}(s)=\frac{1}{s+b}\quad\text{(para \(\Re(s)>-\Re(b)\))}.
Para que ambas as transformadas existam simultaneamente precisamos de \Re(s)>\max\{\Re(b),-\Re(b)\}=\lvert \Re(b)\rvert. Se b for real, isso fica \Re(s)>|b| (ou simplesmente s>|b| quando s real).

Passo 7

Substituindo no passo 4 e simplificando:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right).
Colocando em denominador comum:
\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+b)-(s-b)}{(s-b)(s+b)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2b}{s^{2}-b^{2}}=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}.
Portanto a transformada simplifica para \dfrac{b}{s^{2}-b^{2}}, sob a condição de convergência já identificada.

Passo 8

Resumo da condição de existência: a expressão obtida é válida quando as integrais usadas convergem simultaneamente, isto é, para
\Re(s)>\lvert \Re(b)\rvert.
Se b for real, isso equivale a s>|b|.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bx)\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}
\displaystyle \text{Região de convergência: }\Re(s)>\lvert \Re(b)\rvertãê

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