Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace da função
.
Informações fornecidas:
- A função a transformar é
. - As constantes
e são parâmetros (assumimos reais). - A transformação deve ser uma função do parâmetro complexo
(variável da transformada). - Também é necessário indicar a região de convergência (valores de
para os quais a integral que define a transformada converge).
Passo 2
Definição e estratégia básica (sem resolver ainda): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável real de integração (tempo, por exemplo) e
é um número complexo que controla a convergência. Para a integral existir precisamos que o integrando decaia suficientemente rápido quando
, o que impõe condições sobre
.
Vou aplicar a definição diretamente em
e usar a identidade exponencial de
para transformar a integral em somas de integrais exponenciais simples, que são fáceis de calcular.
Passo 3
Escrevendo
em termos de exponenciais e substituindo na definição:
Portanto,
Substituindo a expressão de
:
Agora simplifico os expoentes dentro da integral:
Logo a integral fica
Passo 4
Avaliação das integrais exponenciais: usamos a fórmula básica
válida sempre que
(essa condição garante que a exponencial decai quando
). Aplicando para cada termo da soma com
e
obtemos
desde que as condições de convergência sejam satisfeitas, isto é,
Para
reais, isso se resume em
Passo 5
Agora faço a simplificação algébrica da soma de frações. Coloco no mesmo denominador:
O numerador simplifica:
Logo
com região de convergência
.
Passo 6
Observação alternativa (útil para a prova): existe uma propriedade muito prática da transformada de Laplace chamada deslocamento na variável
: se
, então
Como
para
, aplica-se o deslocamento e obtem-se imediatamente
coincidindo com o resultado obtido pela integral direta. Use essa propriedade quando quiser poupar tempo na prova — só lembre de ajustar a região de convergência adequadamente.