Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
e^{a x} \operatorname{cosh} (b x)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace da função e^{a x}\operatorname{cosh}(bx).
Informações fornecidas:
  • A função a transformar é f(x)=e^{a x}\operatorname{cosh}(bx).
  • As constantes a e b são parâmetros (assumimos reais).
  • A transformação deve ser uma função do parâmetro complexo s (variável da transformada).
  • Também é necessário indicar a região de convergência (valores de s para os quais a integral que define a transformada converge).

Passo 2

Definição e estratégia básica (sem resolver ainda): a transformada de Laplace de uma função f(x) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx,
onde x é a variável real de integração (tempo, por exemplo) e s é um número complexo que controla a convergência. Para a integral existir precisamos que o integrando decaia suficientemente rápido quando x\to\infty, o que impõe condições sobre \operatorname{Re}(s).
Vou aplicar a definição diretamente em f(x)=e^{a x}\operatorname{cosh}(bx) e usar a identidade exponencial de \operatorname{cosh} para transformar a integral em somas de integrais exponenciais simples, que são fáceis de calcular.

Passo 3

Escrevendo \operatorname{cosh} em termos de exponenciais e substituindo na definição:
\operatorname{cosh}(bx)=\frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2}.
Portanto,
\mathcal{L}\{e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\,dx.
Substituindo a expressão de \operatorname{cosh}:
\mathcal{L}\{e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,e^{a x}\,\frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2}\,dx.
Agora simplifico os expoentes dentro da integral:
e^{-s x}e^{a x}e^{bx}=e^{-(s-a-b)x},\qquad e^{-s x}e^{a x}e^{-bx}=e^{-(s-a+b)x}.
Logo a integral fica
\mathcal{L}\{e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-(s-a-b)x}+e^{-(s-a+b)x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Avaliação das integrais exponenciais: usamos a fórmula básica
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\,dx=\frac{1}{\alpha},
válida sempre que \operatorname{Re}(\alpha)>0 (essa condição garante que a exponencial decai quando x\to\infty). Aplicando para cada termo da soma com \alpha_1=s-a-b e \alpha_2=s-a+b obtemos
\mathcal{L}\{e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a-b}+\frac{1}{s-a+b}\right),
desde que as condições de convergência sejam satisfeitas, isto é,
\operatorname{Re}(s-a-b)>0\quad\text{e}\quad\operatorname{Re}(s-a+b)>0.
Para a,b reais, isso se resume em
\operatorname{Re}(s)>a+|b|.

Passo 5

Agora faço a simplificação algébrica da soma de frações. Coloco no mesmo denominador:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a-b}+\frac{1}{s-a+b}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s-a+b)+(s-a-b)}{(s-a-b)(s-a+b)}.
O numerador simplifica:
(s-a+b)+(s-a-b)=2(s-a).
Logo
\mathcal{L}\{e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(s-a)}{(s-a)^2-b^2}=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>a+|b|.

Passo 6

Observação alternativa (útil para a prova): existe uma propriedade muito prática da transformada de Laplace chamada deslocamento na variável s: se \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{a x}f(x)\}(s)=F(s-a).
Como \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\dfrac{s}{s^2-b^2} para \operatorname{Re}(s)>|b|, aplica-se o deslocamento e obtem-se imediatamente
\mathcal{L}\{e^{a x}\operatorname{cosh}(bx)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2},
coincidindo com o resultado obtido pela integral direta. Use essa propriedade quando quiser poupar tempo na prova — só lembre de ajustar a região de convergência adequadamente.

Resposta

\displaystyle \frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}
\displaystyle \operatorname{Re}(s)>a+|b|

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