Dada
diferenciável, mostrar que
Passo 1
O enunciado dá a função
, onde
é diferenciável, e pede para mostrar que
Informações relevantes que temos:
A tarefa é calcular as derivadas parciais
e
e verificar que a combinação pedida é zero.
Passo 2
Vamos simplificar escrevendo
Primeiro calculemos as derivadas parciais de
. Isto é direto porque
é soma de potências:
pois ao derivar em relação a
tratamos
como constante, e
Explicando passo a passo: ao derivar
em relação a
usamos a regra da potência (derivada de
é
); ao derivar
em relação a
obtemos
porque
é tratado como constante; analogamente para
.
Passo 3
Agora usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Explico a ideia da regra da cadeia neste contexto: se temos
com
diferenciável e
diferenciável, então uma pequena variação de
causa variação em
dada por
. Como
, uma variação em
causa variação em
dada por
. Para obter a derivada parcial em relação a
mantemos
fixo (ou seja,
), daí
De forma análoga,
Aqui
significa a derivada de
avaliada no ponto
. Essa é a versão da regra da cadeia para composições de uma função de uma variável com uma função de duas variáveis.
Passo 4
Substituímos as derivadas de
calculadas no Passo 2 nas fórmulas do Passo 3. Assim:
e
Aqui escrevi explicitamente
para lembrar que a derivada de
é avaliada em
.
Passo 5
Agora montamos a expressão pedida e simplificamos passo a passo:
Colocando
em evidência:
Observando que
, concluímos que
Passo 6
Para fixar a ideia, vejamos um exemplo numérico rápido. Tome
. Então
. Calculando diretamente,
Assim
confirmando o resultado geral. (Esse exemplo mostra que a cancelação ocorre independentemente da escolha de
.)
Passo 7
Interpretação rápida e motivadora: a função
depende apenas da soma
, isto é, do quadrado da distância ao centro; por isso certas combinações como
— que correspondem a uma componente angular da variação — anulam-se. Você fez certinho ao seguir a regra da cadeia; fica tranquilo: essa é uma conta de rotina em provas, e agora você já sabe o passo a passo.