Dada z=f\left(x^{2}+y^{2}\right), f diferenciável, mostrar que
y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá a função z=f\left(x^{2}+y^{2}\right), onde f é diferenciável, e pede para mostrar que
y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=0.
Informações relevantes que temos:
\text{(i)}\quad z \text{ é a composição da função } f \text{ com a função } u(x,y)=x^{2}+y^{2}.éçãçãçã
\text{(ii)}\quad f \text{ é diferenciável (ou seja, a derivada } f' \text{ existe e é usada abaixo).}éáé
A tarefa é calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} e verificar que a combinação pedida é zero.

Passo 2

Vamos simplificar escrevendo
u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Primeiro calculemos as derivadas parciais de u. Isto é direto porque u é soma de potências:
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2x,
pois ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e
\frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2y.
Explicando passo a passo: ao derivar x^{2} em relação a x usamos a regra da potência (derivada de x^{2} é 2x); ao derivar y^{2} em relação a x obtemos 0 porque y é tratado como constante; analogamente para \partial u/\partial y.

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Explico a ideia da regra da cadeia neste contexto: se temos z=f(u(x,y)) com f diferenciável e u diferenciável, então uma pequena variação de x causa variação em u dada por \mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y. Como z=f(u), uma variação em u causa variação em z dada por \mathrm{d}z=f'(u)\,\mathrm{d}u. Para obter a derivada parcial em relação a x mantemos y fixo (ou seja, \mathrm{d}y=0), daí
\frac{\partial z}{\partial x}=f'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
De forma análoga,
\frac{\partial z}{\partial y}=f'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui f'(u) significa a derivada de f avaliada no ponto u(x,y). Essa é a versão da regra da cadeia para composições de uma função de uma variável com uma função de duas variáveis.

Passo 4

Substituímos as derivadas de u calculadas no Passo 2 nas fórmulas do Passo 3. Assim:
\frac{\partial z}{\partial x}=f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2x,
e
\frac{\partial z}{\partial y}=f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot 2y.
Aqui escrevi explicitamente f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) para lembrar que a derivada de f é avaliada em u=x^{2}+y^{2}.

Passo 5

Agora montamos a expressão pedida e simplificamos passo a passo:
y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y} = y\left(2x f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\right) - x\left(2y f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\right).
Colocando 2 f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) em evidência:
= 2 f'\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\left(yx - xy\right).
Observando que yx-xy=0, concluímos que
y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=0.

Passo 6

Para fixar a ideia, vejamos um exemplo numérico rápido. Tome f(t)=t^{2}. Então z=(x^{2}+y^{2})^{2}. Calculando diretamente,
\frac{\partial z}{\partial x}=2(x^{2}+y^{2})\cdot 2x=4x(x^{2}+y^{2}),
\frac{\partial z}{\partial y}=2(x^{2}+y^{2})\cdot 2y=4y(x^{2}+y^{2}).
Assim
y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y}=y\cdot 4x(x^{2}+y^{2})-x\cdot 4y(x^{2}+y^{2})=0,
confirmando o resultado geral. (Esse exemplo mostra que a cancelação ocorre independentemente da escolha de f.)

Passo 7

Interpretação rápida e motivadora: a função z=f(x^{2}+y^{2}) depende apenas da soma x^{2}+y^{2}, isto é, do quadrado da distância ao centro; por isso certas combinações como y\partial_x z - x\partial_y z — que correspondem a uma componente angular da variação — anulam-se. Você fez certinho ao seguir a regra da cadeia; fica tranquilo: essa é uma conta de rotina em provas, e agora você já sabe o passo a passo.

Resposta

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