Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a transformada de Laplace da função
".
Informações dadas: a função é . Não foram dados valores numéricos para
e
, então vamos tratar
e
como constantes reais. A transformada de Laplace é uma integral imprópria definida a partir de
até
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aula rápida): para uma função
definida em
, sua transformada de Laplace é
onde
é a variável complexa da transformada. Para a integral convergir precisamos de condições sobre a parte real de
, que vamos especificar quando surgir.
Passo 3
Escrevendo diretamente a transformada da função pedida:
Aqui a integral é a transformada de
avaliada em
. Isso já é uma pista: existe a propriedade de deslocamento (shift) que facilita muito.
Passo 4
Propriedade de deslocamento (explicação e prova curta): se
, então
Ou seja, multiplicar por
corresponde a deslocar a variável
na transformada:
. Vou usar essa propriedade porque reduz o problema a conhecer
, que é um resultado básico e fácil de derivar.
Passo 5
Cálculo da transformada de
a partir da definição (passo-a-passo): Defina
assumindo primeiramente
para garantir convergência da integral.
Fazemos integração por partes duas vezes para resolver a integral. Seja
u = e d v =
. Então du =
e v =
. Assim
u =
O termo de fronteira avaliado em
é
(pois
quando
), e em
dá zero porque
. Logo
onde definimos
Agora calcule
por integração por partes de maneira análoga. Tome u =
e d v =
. Então du =
e v =
. Assim
Novamente o termo no infinito é zero; o termo em zero é
, e levando o sinal do intervalo temos
.
Passo 6
Agora substituímos
em
:
Passando o termo com
para o lado esquerdo:
Ou seja
Portanto
Passo 7
Aplicando a propriedade de deslocamento (Passo 4) ao caso
: se
, então
Passo 8
Condição de convergência: trocamos
por
na condição
, então a transformada obtida é válida para
Também vale checar casos especiais: se
recuperamos
, como era de se esperar.