Encontre a transformada de Laplace de f(t)=cos (a t), em que a é uma constante real.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=cos(a t), com a constante real. O conteúdo envolvido é transformada de Laplace definida por integral imprópria, e vamos usar integração por partes para calculá-la.

Passo 2

Pela definição,
Lcos(a t)(s)=integral0^inftye^-s tcos(a t),dt
Denotamos
I=integral0^inftye^-s tcos(a t),dt,
válido para Re(s)>0.

Passo 3

Fazendo integração por partes em I, com u=cos(a t), dv=e^-s tdt, obtemos
u'=-asin(a t), v=-1se^-s t,
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I=lu,vr|0^infty-integral0^inftyv,u',dt =1s-asintegral0^inftye^-s tsin(a t),dt =1s-asJ,
onde
J=integral0^inftye^-s tsin(a t),dt

Passo 4

Agora, aplicamos integração por partes em J, com u=sin(a t), dv=e^-s tdt. Assim
u'=acos(a t), v=-1se^-s t,
e
J=lu,vr|0^infty-integral0^inftyv,u',dt =asintegral0^inftye^-s tcos(a t),dt =asI

Passo 5

Substituindo J=tfracasI na expressão de I em função de J,
I=1s-asl(asIr) =1s-a^2s^2I Longrightarrow Il(1+a^2s^2r)=1s Longrightarrow I=ss^2+a^2

Resposta

Lcos(a t)(s)=ss^2+a^2, Re(s)>0

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