Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o Teste da Comparação no Limite. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos precisar identificar o comportamento assintótico do termo geral e compará-lo a uma série mais simples cujo comportamento (convergência ou divergência) já conhecemos.
Passo 2
Observamos que, para grande, o termo dominante no numerador é e no denominador é . Logo
Definimos a série de comparação
Passo 3
Calculamos o limite
Para , o termo dominante no numerador é e no denominador também , então
Passo 4
Sabemos que a série
é divergente. Uma forma de ver isso é usar o Teste da Integral:
logo a série de bn diverge.
Passo 5
Como 0 < L < infty e sum bn diverge, pelo Teste da Comparação no Limite a série sum an também diverge.