Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
sumn=2^infty 1+n cdot ln (n)n^2+5

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=2^infty 1 + n ln(n)n^2 + 5
é convergente ou divergente usando o Teste da Comparação no Limite. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos precisar identificar o comportamento assintótico do termo geral e compará-lo a uma série mais simples cujo comportamento (convergência ou divergência) já conhecemos.

Passo 2

Observamos que, para n grande, o termo dominante no numerador é nln(n) e no denominador é n^2. Logo
an = 1 + n ln(n)n^2 + 5 sim nln(n)n^2 = ln(n)n
Definimos a série de comparação
bn = ln(n)n

Passo 3

Calculamos o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty 1 + n ln(n)n^2 + 5ln(n)n = limntoinfty nl(1 + nln(n)r)(n^2 + 5),ln(n)
Para ntoinfty, o termo dominante no numerador é n^2ln(n) e no denominador também n^2ln(n), então
L = 1

Passo 4

Sabemos que a série
sumn=2^infty bn = sumn=2^infty ln(n)n
é divergente. Uma forma de ver isso é usar o Teste da Integral:
integral2^infty ln(x)x,dx = 12l(ln(x)r)^2 |2^infty = infty,
logo a série de bn diverge.

Passo 5

Como 0 < L < infty e sum bn diverge, pelo Teste da Comparação no Limite a série sum an também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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