Questão 1 (1,0 ponto): Seja
a região do
quadrante (
e
), que satisfaz
e que, além disso, é delimitada pelas curvas que em coordenadas polares são dadas por
Calcule a integral de
em
.
Atenção: Não se preocupe… as duas curvas que estão em coordenadas polares acima não tem pontos de interseção.
Atenção: Não se preocupe… as duas curvas que estão em coordenadas polares acima não tem pontos de interseção.
Passo 1
O enunciado pede
- calcular
- calcular
onde
é a parte do quarto quadrante (
) limitada pelas curvas polares
e ainda sujeita a
.
Para resolver, vamos usar coordenadas polares e expandir os integrandos trigonométricos.
Para resolver, vamos usar coordenadas polares e expandir os integrandos trigonométricos.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
. A desigualdade
no quarto quadrante equivale a
Logo
varia de
até
, e para cada
o raio
vai de
até
.
Passo 3
O integral fica
Integrando em
obtemos
Portanto
Passo 4
Chamemos
Então
Passo 5
Para
expandimos binomialmente e usamos
sabendo que
Fazendo as contas, encontra-se
Fazendo as contas, encontra-se
Passo 6
Para
escrevemos
com
e usamos
com
Após expandir, obtém-se
Após expandir, obtém-se
Passo 7
Voltando a
, temos