Questão 1 (1,0 ponto): Seja R a região do 4^o quadrante ( x >= 0 e y <= 0 ), que satisfaz y >=-x e que, além disso, é delimitada pelas curvas que em coordenadas polares são dadas por
& r=9+5 sin (8 theta) & r=21+3 cos (4 theta)
Calcule a integral de f(x, y)=x^2+y^2 em R.
Atenção: Não se preocupe… as duas curvas que estão em coordenadas polares acima não tem pontos de interseção.

Passo 1

O enunciado pede
- calcular
integral duplaR(x^2+y^2),dA
onde R é a parte do quarto quadrante ( x>=0,;y<=0) limitada pelas curvas polares
r1(theta)=9+5sin(8theta), r2(theta)=21+3cos(4theta)
e ainda sujeita a y>= -x.
Para resolver, vamos usar coordenadas polares e expandir os integrandos trigonométricos.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. A desigualdade y>= -x no quarto quadrante equivale a
tantheta >= -1 ;Longrightarrow; thetainl[-tfracpi4,,0r]
Logo theta varia de -tfracpi4 até 0, e para cada theta o raio r vai de r1(theta) até r2(theta).

Passo 3

O integral fica
integral duplaR(x^2+y^2),dA = integraltheta=-pi/4^0integralr=r1(theta)^r2(theta) r^2,r,dr,dtheta = integral-pi/4^0integralr1^r2r^3,dr,dtheta
Integrando em r obtemos
integralr1^r2r^3,dr =14l[r^4r]r1^r2 =14l(r2^4-r1^4r)
Portanto
I =14 integral-pi/4^0l[l(21+3cos(4theta)r)^4 -l(9+5sin(8theta)r)^4r]dtheta

Passo 4

Chamemos
J2=integral-pi/4^0l(21+3cos(4theta)r)^4dtheta, J1=integral-pi/4^0l(9+5sin(8theta)r)^4dtheta
Então
I =14(J2-J1)

Passo 5

Para J2 expandimos binomialmente e usamos
integral-pi/4^0cos^m(4theta),dtheta =14integral-,pi^0cos^mu,du =14integral0^picos^mu,du,
sabendo que
integral0^picos^0u,du=pi,
integral0^picos^2u,du=tfracpi2,
integral0^picos^4u,du=tfrac3pi8
Fazendo as contas, encontra-se
J2 =1651347pi32

Passo 6

Para J1 escrevemos sin(8theta) com v=8theta e usamos
integral-pi/4^0sin^k(8theta),dtheta =18integral-2pi^0sin^kv,dv =18integral0^2pisin^kv,dv,
com
integral0^2pisin^0v,dv=2pi,
integral0^2pisin^2v,dv=pi,
integral0^2pisin^4v,dv=tfrac3pi4
Após expandir, obtém-se
J1 =102963pi32

Passo 7

Voltando a I, temos
I =14l(J2-J1r) =14l(1651347pi32-102963pi32r) =1548384pi128 =48387pi4

Resposta

boxedintegral duplaR(x^2+y^2),dA =48387pi4

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