Encontre a transformada de Laplace.
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Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer achar a transformada de Laplace de f(t)=∫₀ᵗ sin(t−τ)·cosτ dτ. O conteúdo envolvido é a Transformada de Laplace e, em especial, o Teorema da Convolução.
Passo 2
Reconhecer f(t) como uma convolução: note que f(t)=(sin t)*(cos t), isto é, f é o produto de convolução de sin t com cos t. O Teorema da Convolução diz que a transformada de Laplace de uma convolução é o produto das transformadas individuais.
Passo 3
Listar as transformadas básicas: pela tabela, temos L{sin t}=1/(s²+1) e L{cos t}=s/(s²+1). Aqui usamos a definição L{f(t)}=∫₀^∞ e^{-st}f(t) dt.
Passo 4
Aplicar o Teorema da Convolução: L{f(t)}=L{sin t}·L{cos t}=(1/(s²+1))·(s/(s²+1))=s/(s²+1)².