Encontre a transformada de Laplace.
f(t)=integral0^t sin (t-tau) cos tau d tau;

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar a transformada de Laplace de f(t)=∫₀ᵗ sin(t−τ)·cosτ dτ. O conteúdo envolvido é a Transformada de Laplace e, em especial, o Teorema da Convolução.

Passo 2

Reconhecer f(t) como uma convolução: note que f(t)=(sin t)*(cos t), isto é, f é o produto de convolução de sin t com cos t. O Teorema da Convolução diz que a transformada de Laplace de uma convolução é o produto das transformadas individuais.

Passo 3

Listar as transformadas básicas: pela tabela, temos L{sin t}=1/(s²+1) e L{cos t}=s/(s²+1). Aqui usamos a definição L{f(t)}=∫₀^∞ e^{-st}f(t) dt.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Convolução: L{f(t)}=L{sin t}·L{cos t}=(1/(s²+1))·(s/(s²+1))=s/(s²+1)².

Resposta

s(s^2+1)^2

Exercícios relacionados