Encontre a transformada de Laplace.
f(t)=integral0^t(t-tau) sin (3 tau) d tau;

Passo 1

Vamos resolver a transformada de Laplace de
f(t)=integral0^t(t-tau),sin(3tau),dtau
Conteúdo: transformada de Laplace e propriedade de convolução. Vamos usar que essa integral é justamente a convolução de g(t)=t e h(t)=sin(3t).

Passo 2

Pela propriedade de convolução, se f(t)=(g*h)(t)=integral0^tg(t-tau)h(tau)dtau, então
Lf(t)=G(s),H(s)
Aqui temos
G(s)=Lt=1s^2,
H(s)=Lsin(3t)=3s^2+9

Passo 3

Multiplicando as duas transformadas, obtemos
F(s)=G(s),H(s)=1s^2cdot3s^2+9=3s^2(s^2+9)

Passo 4

Se quisermos, podemos também fazer frações parciais. Escrevendo
3s^2(s^2+9)=As^2+Bs^2+9,
e igualando coeficientes, encontra-se A=1/3 e B=-1/3, resultando em
F(s)=13l(1s^2-1s^2+9r)

Resposta

F(s)=3s^2(s^2+9)

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