Encontre a transformada de Laplace.
f(t)=integral0^t e^tau(t-tau) d tau;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de f(t)= integral0^te^tau(t-tau)dtau. O conteúdo-chave é a transformada de Laplace e, em especial, o Teorema da Convolução. Vamos reconhecer essa integral como convolução de duas funções g(t)=e^t e h(t)=t.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Convolução, calculamos primeiro as transformadas individuais:
A transformada de Laplace de g(t)=e^t é G(s)=1s-1 (válida para Re(s)>1).
A transformada de Laplace de h(t)=t é H(s)=1s^2.

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, a transformada de f(t)=g*h é o produto das transformadas:
F(s)=G(s),H(s)=1s-1cdot1s^2=1s^2,(s-1)
Essa expressão vale para Re(s)>1.

Resposta

F(s)=1s^2,(s-1)

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