Encontre a transformada de Laplace.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de f(t)=
. O conteúdo-chave é a transformada de Laplace e, em especial, o Teorema da Convolução. Vamos reconhecer essa integral como convolução de duas funções g(t)=e^t e h(t)=t.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Convolução, calculamos primeiro as transformadas individuais:
A transformada de Laplace de g(t)=e^t é (válida para Re(s)>1).
A transformada de Laplace de h(t)=t é .
A transformada de Laplace de g(t)=e^t é
A transformada de Laplace de h(t)=t é
Passo 3
Pelo Teorema da Convolução, a transformada de f(t)=g*h é o produto das transformadas:
Essa expressão vale para Re(s)>1.