Use que F^(n)(s)=L(-t)^n f(t) para encontrar a transformada de Laplace.
f(t)=t^n;

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^n, usando a propriedade
F^(n)(s)=L(-t)^n f(t).

Passo 2

Identificamos a função auxiliar f(t)=1. Sua transformada é
F(s)=L1=1s
Agora calculamos a derivada de ordem n de F(s). Por indução, a k-ésima derivada de s^-1 é
$$F{(k)}(s)=(-1)k k!,s^{-k-1}.
F^(k)(s)=(-1)^k k!,s^-k-1 F{(n)}(s)=(-1)n n!,s^{-n-1}.$$

Passo 3

Aplicando a propriedade dada,
$$F{(n)}(s)=\mathcal{L}{(-t)n}=(-1)n\mathcal{L}{tn}.
F^(n)(s)=L(-t)^n=(-1)^nLt^n (-1)n\mathcal{L}{tn}=(-1)^n n!,s^{-n-1} \implies \mathcal{L}{tn}=\frac{n!}{s{n+1}}.$$

Resposta

Lt^n=n!s^n+1

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