(a) Encontre a transformada de Laplace da função
Res.:
, em que
. Logo,
. Como
tem-se
Obs.: Outra forma:
e, como
,
de onde segue, via tabela, que
(b) Encontre a transformada de Laplace da função
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a transformada de Laplace da função
- (b) Calcular a transformada de Laplace da convolução
, em que é a função degrau unitário deslocada em .
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é nula para e igual a para . - A notação
será usada para o degrau unitário deslocado: . - Vamos usar propriedades básicas da transformada de Laplace: deslocamento no tempo e transformada da convolução.
Passo 2
Entendendo o uso do degrau e a propriedade de deslocamento (teoria necessária).
- O degrau deslocado
vale para e para . - Se uma função pode ser escrita como
, isto significa que para a função é e para ela vale . A propriedade da transformada de Laplace diz:
onde
.
- Intuição rápida do porquê: ao fazer a integral da transformada, muda-se variável
e aparece o fator . Não é necessário repetir toda a derivação numa prova; basta saber a regra e, se precisar, justificar com a substituição.
Passo 3
Aplicando a ideia ao item (a): reescrever
com degrau deslocado.
- Observação: para
vale , e para vale . Logo podemos escrever
devendo ter
quando
. Para encontrar a função
em termos da variável padrão
(ou seja, a função que aparece na propriedade), substitui-se
e obtém-se
Ou, mais diretamente, outra forma equivalente é escrever
e então expandir
; ambas as abordagens levam ao mesmo
. Vou calcular
com
.
Passo 4
Calcular
com
.
- Expande-se
:
- Usar fórmulas básicas da transformada de Laplace (lembrando o que cada símbolo significa):
-
. -
. -
. (Regra geral: .)
-
- Aplicando linearidade:
Passo 5
Obter
usando o deslocamento.
- Pela propriedade de deslocamento discutida no Passo 2, como
com acima, tem-se
- Substituindo
:
Isto responde ao item (a). (Como verificação alternativa rápida: escrevendo
e aplicando a tabela com deslocamento, chega-se ao mesmo resultado.)
Passo 6
Preparação para o item (b): propriedade da transformada da convolução e transformada de
.
- A convolução temporal
é definida por
- Propriedade fundamental: a transformada de Laplace transforma convolução em produto:
- Precisamos de
. Pelo mesmo teorema de deslocamento visto antes (com ):
- Portanto, para
,
Passo 7
Calcular
usando produto no domínio
.
- Aplicando a propriedade da convolução:
- Substituir
e o do Passo 5:
- Simplificar os fatores exponenciais e as potências de
:
Resposta
(a)
(b)