(a) Encontre a transformada de Laplace da função
g(t)= \begin{cases}0 & ; 0 \leq t<1 \\\ t^{2} & ; 1 \leq t\end{cases}
Res.: g(t)=u_{1}(t) h(t-1), em que h(t-1)=t^{2}. Logo, G(s)=e^{-s} H(s). Como h(t)= (t+1)^{2}=t^{2}+2 t+1 tem-se
G(s)=e^{-s}\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\right)
Obs.: Outra forma: g(t)=u_{1}(t) t^{2} e, como t^{2}=(t-1+1)^{2}=(t-1)^{2}+2(t-1)+1,
g(t)=u_{1}(t)(t-1)^{2}+2 u_{1}(t)(t-1)+u_{1}(t)
de onde segue, via tabela, que
G(s)=e^{-s} \frac{2}{s^{3}}+2 e^{-s} \frac{1}{s^{2}}+e^{-s} \frac{1}{s}=e^{-s}\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\right)
(b) Encontre a transformada de Laplace da função u_{2} * g.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a transformada de Laplace da função
g(t)= \begin{cases}0 & ; 0 \leq t<1 \\\ t^{2} & ; 1 \leq t\end{cases}
  • (b) Calcular a transformada de Laplace da convolução u_{2} * g, em que u_{2}(t)=u(t-2) é a função degrau unitário deslocada em 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função g(t) é nula para 0\le t<1 e igual a t^{2} para t\ge1.
  • A notação u_{a}(t) será usada para o degrau unitário deslocado: u_{a}(t)=u(t-a).
  • Vamos usar propriedades básicas da transformada de Laplace: deslocamento no tempo e transformada da convolução.

Passo 2

Entendendo o uso do degrau e a propriedade de deslocamento (teoria necessária).
  • O degrau deslocado u_{a}(t)=u(t-a) vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
  • Se uma função pode ser escrita como f(t)=u_{a}(t)\,h(t-a), isto significa que para t<a a função é 0 e para t\ge a ela vale h(t-a). A propriedade da transformada de Laplace diz:
\text{se }f(t)=u_{a}(t)\,h(t-a),\quad \text{então}\quad F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=e^{-a s}H(s),ã
onde H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
  • Intuição rápida do porquê: ao fazer a integral da transformada, muda-se variável u=t-a e aparece o fator e^{-as}. Não é necessário repetir toda a derivação numa prova; basta saber a regra e, se precisar, justificar com a substituição.

Passo 3

Aplicando a ideia ao item (a): reescrever g(t) com degrau deslocado.
  • Observação: para t\ge1 vale g(t)=t^{2}, e para t<1 vale 0. Logo podemos escrever
g(t)=u_{1}(t)\,h(t-1)
devendo ter h(t-1)=t^{2} quando t\ge1. Para encontrar a função h em termos da variável padrão t (ou seja, a função que aparece na propriedade), substitui-se t\mapsto t+1 e obtém-se
h(t)=(t+1)^{2}.
Ou, mais diretamente, outra forma equivalente é escrever g(t)=u_{1}(t)\,t^{2} e então expandir t=(t-1)+1; ambas as abordagens levam ao mesmo H(s). Vou calcular H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\} com h(t)=(t+1)^{2}.

Passo 4

Calcular H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\} com h(t)=(t+1)^{2}.
  • Expande-se h(t):
h(t)=(t+1)^{2}=t^{2}+2t+1.
  • Usar fórmulas básicas da transformada de Laplace (lembrando o que cada símbolo significa):
    • \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}.
    • \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}.
    • \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}. (Regra geral: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.)
  • Aplicando linearidade:
H(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\} + 2\mathcal{L}\{t\} + \mathcal{L}\{1\}=\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}.

Passo 5

Obter G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) usando o deslocamento.
  • Pela propriedade de deslocamento discutida no Passo 2, como g(t)=u_{1}(t)\,h(t-1) com h acima, tem-se
G(s)=e^{-s}H(s).
  • Substituindo H(s):
G(s)=e^{-s}\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\right).
Isto responde ao item (a). (Como verificação alternativa rápida: escrevendo t^{2}=(t-1)^{2}+2(t-1)+1 e aplicando a tabela com deslocamento, chega-se ao mesmo resultado.)

Passo 6

Preparação para o item (b): propriedade da transformada da convolução e transformada de u_{2}.
  • A convolução temporal f*g é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
  • Propriedade fundamental: a transformada de Laplace transforma convolução em produto:
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{g\}(s).
  • Precisamos de \mathcal{L}\{u_{2}\}(s). Pelo mesmo teorema de deslocamento visto antes (com h(t)=1):
\mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=\frac{e^{-a s}}{s}.
  • Portanto, para u_{2}(t)=u(t-2),
U_{2}(s)=\frac{e^{-2s}}{s}.

Passo 7

Calcular \mathcal{L}\{u_{2}*g\}(s) usando produto no domínio s.
  • Aplicando a propriedade da convolução:
\mathcal{L}\{u_{2}*g\}(s)=U_{2}(s)\cdot G(s).
  • Substituir U_{2}(s)=\dfrac{e^{-2s}}{s} e o G(s) do Passo 5:
\mathcal{L}\{u_{2}*g\}(s)=\frac{e^{-2s}}{s}\cdot e^{-s}\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\right).
  • Simplificar os fatores exponenciais e as potências de s:
\mathcal{L}\{u_{2}*g\}(s)=e^{-3s}\left(\frac{2}{s^{4}}+\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s^{2}}\right).

Resposta

(a) \displaystyle G(s)=e^{-s}\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}\right)
(b) \displaystyle \mathcal{L}\{u_{2}*g\}(s)=e^{-3s}\left(\frac{2}{s^{4}}+\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s^{2}}\right)

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