Questão 3. Encontre a solução do PVI
Res.:
em que
e
.
Logo,
Pela tabela:
. Por frações parciais, tem-se
Daí,
Portanto,
Logo,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas e o que se espera encontrar:
- A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com forçamento composto por uma função delta deslocada
e por . - As condições iniciais são
e . - Queremos encontrar a solução
para todo (a solução causal usual). - Observação: foi sugerido usar transformada de Laplace (pelo esboço fornecido). Vamos seguir esse caminho.]
Passo 2
Resumo rápido da ferramenta que vamos usar (Laplace) — o que é preciso lembrar:
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por . - Regras que usaremos:
Como e , isto simplifica bastante. - Transformadas úteis:
- Segunda propriedade de deslocamento (teorema do deslocamento no tempo):
onde e é a função degrau unitário deslocada. (A versão com aparece quando transformamos um termo multiplicado por .)
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial. Primeiro transformar cada termo:
- Para o lado esquerdo, usando
e , - Para o lado direito,
e
Portanto a equação transformada é
Passo 4
Isolar
e separar em duas parcelas para inverter facilmente:
Denotando
temos
A ideia é inverter
usando o teorema do deslocamento no tempo e inverter
por decomposição em frações parciais.
Passo 5
Inversão do primeiro termo
:
- Primeiro observe que
, ou seja . - Pelo teorema do deslocamento (segunda propriedade de deslocamento), se
então onde é o degrau unitário deslocado. - Como
, obtemos
Passo 6
Agora tratamos
por frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Colocando no mesmo denominador:
Comparando numeradores polinomiais (igualdade para todo
), obtemos o sistema
Resolvendo:
- Da primeira equação
. - Substituindo na segunda:
. - Então
.
Assim
Passo 7
Inversão de cada parcela de
para obter
:
- Lembrando que
. Então Portanto - E como
,
Somando essas duas parcelas obtemos
Passo 8
Combinar as duas partes (a parte deslocada vinda do delta e a parte
vinda da senoide):
Podemos escrever de forma mais limpa: