Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=cc0 & 0 <= t<3 -2 & 3 <= t<5 2 & 5 <= t<7 1 & t >= 7

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em escalões:
f(t)= 0, & 0<= t<3, -2,&3<= t<5, 2,&5<= t<7, 1,&t>=7
Para resolver vamos usar a representação em termos da função degrau unitário u(t-a) e a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 2

Escrevendo f(t) por escalões, notamos que cada salto pode ser descrito por degraus:
  • A contribuição -2 aparece em [3,5) e some a partir de t=5.
  • A contribuição +2 aparece em [5,7) e some a partir de t=7.
  • A contribuição +1 aparece a partir de t=7.
Isso leva a
f(t)=-2l[u(t-3)-u(t-5)r];+;2l[u(t-5)-u(t-7)r];+;1cdot u(t-7)
Agrupando termos idênticos,
f(t)=-2,u(t-3);+;4,u(t-5);-;1,u(t-7)

Passo 3

Usamos a linearidade e a propriedade
Lu(t-a)(s)=e^-a ss
Então
F(s)=Lf(t) =-2e^-3ss +4e^-5ss -e^-7ss

Passo 4

Colocando em forma única:
F(s) =-2e^-3s+4e^-5s-e^-7ss

Resposta

F(s)=-2e^-3s+4e^-5s-e^-7ss

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