Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=cc1, & 0 <= t<pi 0, & pi <= t<infty

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes, definida por
f(t)= 1, & 0 <= t<pi, 0, & t>=pi
O que precisamos é usar a definição da transformada de Laplace:
Lf(s)=integral0^inftyf(t),e^-st,dt,
sabendo que a integral converge para Re(s)>0.

Passo 2

Substituímos f(t) na definição e separamos o integral em dois trechos, de acordo com as partes da função:
Lf(s) =integral0^pi1cdot e^-st,dt +integralpi^infty0cdot e^-st,dt
Como na segunda parte o integrando é zero, basta trabalhar com o primeiro termo.

Passo 3

Calculamos o integral de 0 a pi:
integral0^pie^-st,dt =l[-tfrac1se^-str]0^pi =-tfrac1se^-spi-l(-tfrac1se^-scdot0r) =tfrac1sl(1-e^-spir)

Passo 4

Portanto, juntando tudo, obtemos a transformada de Laplace:
Lf(s) =1-e^-spis, Re(s)>0

Resposta

Lf(s)=1-e^-spis

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