Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=lct, & 0 <= t<1 1, & 1 <= t<infty

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= t, & 0 <= t < 1, 1, & t >= 1,
ou seja, queremos
F(s)=Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Usaremos o fato de que a integral de f se separa nos dois intervalos onde ela muda de expressão.

Passo 2

Escrevemos
F(s) =integral0^1e^-st,t,dt +integral1^inftye^-stcdot1,dt

Passo 3

Calculemos
A=integral0^1t,e^-st,dt
por partes. Ponha u=t e dv=e^-stdt. Então du=dt e v=-tfrac1se^-st. Logo
A =lu,vr|0^1-integral0^1v,du =-1se^-s -integral0^1l(-1se^-str)dt
O segundo termo é
integral0^11se^-stdt =1sl[-tfrac1se^-str]0^1 =-e^-ss^2+1s^2
Portanto
A =-e^-ss -e^-ss^2 +1s^2 =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Agora o segundo pedaço
B=integral1^inftye^-stdt
é uma integral exponencial padrão. Temos
B =l[-tfrac1se^-str]1^infty =e^-ss

Passo 5

Somando A e B:
F(s)=A+B =l(1s^2-e^-sl(tfrac1s+tfrac1s^2r)r) +e^-ss
Os termos com e^-s/s cancelam, sobrando
F(s)=1s^2-e^-ss^2 =1-e^-ss^2

Resposta

F(s)=1-e^-ss^2

Exercícios relacionados