Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.
f(t)=t sen(at)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
F(s)=Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt
para f(t)=tsin(at), onde a é constante real e assumimos s>0 para convergência. Vamos usar integração por partes para avaliar
integral0^inftytsin(at)e^-st,dt

Passo 2

Escolhemos na integração por partes
u = t, dv = sin(at),e^-stdt
Então
du = dt
e resta calcular
v=integral sin(at),e^-stdt

Passo 3

Para achar v usamos a fórmula de integração de e^-stsin(at):
v=integral e^-stsin(at),dt =-e^-stl(ssin(at)+acos(at)r)s^2+a^2
Logo, pela integração por partes
integral0^inftytsin(at)e^-st,dt =l[t,vr]0^infty -integral0^inftyv,du
Como t,e^-stto0 quando ttoinfty e vale zero em t=0, o termo de fronteira some, ficando
integral0^inftytsin(at)e^-st,dt =-integral0^inftyv,dt

Passo 4

Substituindo v no integral e tirando constantes fora, obtemos
integral0^inftytsin(at)e^-st,dt =1s^2+a^2 integral0^inftye^-stl(ssin(at)+acos(at)r),dt
Isso se separa em duas transformadas conhecidas:
integral0^inftye^-stsin(at),dt =as^2+a^2, integral0^inftye^-stcos(at),dt =ss^2+a^2

Passo 5

Portanto
integral0^inftytsin(at)e^-st,dt =1s^2+a^2l[scdotas^2+a^2 ;+;acdotss^2+a^2r] =2as(s^2+a^2)^2

Resposta

Ltsin(at)(s) =2as(s^2+a^2)^2

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