Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo a e b constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que cosh (x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2.
h) f(t)=t^n e^a t, n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t^n e^a t, onde n é inteiro positivo e a é constante não nula. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar da definição integral da transformada e da fórmula do integral de t^n e^-lambda t.

Passo 2

Começamos pela definição da transformada de Laplace:
Lt^n e^a t(s)=integral0^inftyt^n e^-s t,e^a t,dt=integral0^inftyt^n e^-(s-a)t,dt

Passo 3

Precisamos então calcular
I(lambda)=integral0^inftyt^n e^-lambda t,dt,
onde definimos lambda=s-a. Pela teoria da transformada e da função Gama, quando n é inteiro positivo vale
integral0^inftyt^n e^-lambda t,dt=n!lambda^n+1, Re(lambda)>0

Passo 4

Aplicando essa fórmula com lambda=s-a obtemos
Lt^n e^a t(s)=n!(s-a)^n+1,
com região de convergência Re(s-a)>0, ou seja Re(s)>a.

Resposta

Lt^n e^a t(s)=dfracn!(s-a)^n+1,;Re(s)>a

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