Encontre a transformada de laplace das funções abaixo e utilize a equação de Laplace que utiliza da integral denifinida de zero a + infinito:
f(t)=t^2 cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de f(t)=t²·cos(t) usando a definição via integral de 0 até +∞. O conteúdo principal é transformada de Laplace e vamos usar também a propriedade de derivação com respeito a s para simplificar o cálculo.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Lf(t)(s)=integral0^+inftyf(t)e^-st,dt
Além disso, para evitar fazer a integral de t²·cos(t) diretamente, usamos a propriedade
Lt^n f(t)(s)=(-1)^nd^nds^nl[Lf(t)(s)r]

Passo 3

Primeiro vamos lembrar a transformada de Laplace de cos(t). Sabemos que
Lcos(t)(s)=integral0^+inftycos(t)e^-st,dt=ss^2+1
Chamando essa função de F(s), temos
F(s)=ss^2+1

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade com n=2:
Lt^2cos(t)(s)=(-1)^2d^2ds^2F(s)=d^2ds^2l(ss^2+1r)

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de F(s). Primeiro, a derivada de ordem 1:
F'(s)=ddsl(ss^2+1r)=(s^2+1)-s(2s)(s^2+1)^2=1-s^2(s^2+1)^2
Agora a derivada de ordem 2: defina G(s)=1-s^2 e H(s)=(s2+1){-2}, assim F’(s)=G(s)H(s). Usando a regra do produto,
F''(s)=G'(s)H(s)+G(s)H'(s)
Onde G’(s)=-2s e H’(s)=-2(s2+1){-3}·2s=-4s(s2+1){-3}. Então
F''(s)=-2s(s^2+1)^-2+(1-s^2)(-4s)(s^2+1)^-3
Colocando em denominador comum (s2+1)3 e simplificando o numerador, chega-se a
F''(s)=2s(s^2-3)(s^2+1)^3

Passo 6

Portanto, usando a propriedade de derivação, concluímos que
Lt^2cos(t)(s)=F''(s)=2s(s^2-3)(s^2+1)^3

Resposta

\displaystyle \frac{2s\bigl(s2-3\bigr)}{(s2+1)^3}

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