Encontre a transformada de laplace das funções abaixo e utilize a equação de Laplace que utiliza da integral denifinida de zero a + infinito:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de f(t)=t²·cos(t) usando a definição via integral de 0 até +∞. O conteúdo principal é transformada de Laplace e vamos usar também a propriedade de derivação com respeito a s para simplificar o cálculo.
Passo 2
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Além disso, para evitar fazer a integral de t²·cos(t) diretamente, usamos a propriedade
Passo 3
Primeiro vamos lembrar a transformada de Laplace de cos(t). Sabemos que
Chamando essa função de F(s), temos
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade com n=2:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de F(s). Primeiro, a derivada de ordem 1:
Agora a derivada de ordem 2: defina G(s)=1-s^2 e H(s)=(s2+1){-2}, assim F’(s)=G(s)H(s). Usando a regra do produto,
Onde G’(s)=-2s e H’(s)=-2(s2+1){-3}·2s=-4s(s2+1){-3}. Então
Colocando em denominador comum (s2+1)3 e simplificando o numerador, chega-se a
Passo 6
Portanto, usando a propriedade de derivação, concluímos que
Resposta
\displaystyle \frac{2s\bigl(s2-3\bigr)}{(s2+1)^3}