Encontre a transformada de laplace das funções abaixo e utilize a equação de Laplace que utiliza da integral denifinida de zero a + infinito:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(t) = e^{2t} \sin(3t) $. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace, que envolve calcular uma integral de 0 até mais infinito. Não se preocupa se alguns termos parecerem novos, vou explicar cada passo com calma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo $ t $ para uma função no domínio da frequência $ s $. A fórmula dela é:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa e $ f(t) $ é a função que queremos transformar.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar $ \mathcal{L}{e^{2t} \sin(3t)} $. Vamos substituir $ f(t) $ na fórmula da Transformada de Laplace:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 5
Essa integral tem a forma geral de $ \int_{0}^{+\infty} e^{at} \sin(bt) , dt $. Para resolver, usamos uma fórmula padrão da Transformada de Laplace para funções exponenciais multiplicadas por senos:
Aqui, $ a = 2 - s $ e $ b = 3 $.
Passo 6
Aplicando os valores de $ a $ e $ b $ na fórmula, temos:
Resposta
Portanto, a Transformada de Laplace de $ f(t) = e^{2t} \sin(3t) $ é: