Encontre a transformada de laplace das funções abaixo e utilize a equação de Laplace que utiliza da integral denifinida de zero a + infinito:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cosh(at) $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve calcular uma integral de 0 até mais infinito. Vamos precisar lembrar das propriedades das funções hiperbólicas e saber como resolver integrais exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função cosseno hiperbólico é expressa. A função $ \cosh(at) $ pode ser escrita em termos de exponenciais da seguinte maneira:
Isso vai facilitar nossa integração depois.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Substituindo $ f(t) = \cosh(at) $:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Essas integrais são exponenciais simples que conseguimos resolver facilmente.
Passo 5
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
Passo 6
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Vamos somar as duas frações:
Portanto:
Resposta
A transformada de Laplace de $ \cosh(at) $ é: