Encontre a transformada de laplace das funções abaixo e utilize a equação de Laplace que utiliza da integral denifinida de zero a + infinito:
f(t)=cosh (a t)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \cosh(at) $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve calcular uma integral de 0 até mais infinito. Vamos precisar lembrar das propriedades das funções hiperbólicas e saber como resolver integrais exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função cosseno hiperbólico é expressa. A função $ \cosh(at) $ pode ser escrita em termos de exponenciais da seguinte maneira:
cosh(at)
Isso vai facilitar nossa integração depois.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Substituindo $ f(t) = \cosh(at) $:
Lf(t) = integral0^+infty e^-st f(t) , dt

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Lcosh(at) = 12 ( integral0^+infty e^-(s - a)t , dt + integral0^+infty e^-(s + a)t , dt )
Essas integrais são exponenciais simples que conseguimos resolver facilmente.

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
integral0^+infty e^-(s - a)t , dt = 1s - a (desde que Re(s) > a )
integral0^+infty e^-(s + a)t , dt = 1s + a (desde que Re(s) > -a )

Passo 6

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
Lcosh(at) = 12 ( 1s - a + 1s + a )
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Vamos somar as duas frações:
1s - a + 1s + a = (s + a) + (s - a)(s - a)(s + a) = 2ss^2 - a^2
Portanto:
Lcosh(at) = 12 cdot 2ss^2 - a^2 = ss^2 - a^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ \cosh(at) $ é:
cosh(at)

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