Encontre a Transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a transformada de Laplace dela. Informações relevantes:
- A função é
definida para . - A incógnita da transformada é a variável complexa
. - O que se pede é
, isto é, .
Passo 2
Vou lembrar a definição da Transformada de Laplace e explicar cada símbolo:
Aqui:
-
é a função no tempo (aqui ); -
é uma variável complexa (normalmente escrevemos ); - a integral converge (existe) tipicamente quando
é suficientemente grande; para funções exponencialmente limitadas, geralmente precisamos de .
Passo 3
Usando a propriedade de linearidade da transformada (constantes saem da integral), temos:
Então basta calcular
.
Passo 4
Calcularei
por integração por partes (duas vezes). Defina
Fazendo integração por partes em
: escolha
(
) e
(
). Então
O termo de contorno vale
porque
para
e em
obtemos
. Assim surge
Agora calcule
por partes: escolha
(
) e
(
). Obtemos termo de contorno zero e
Substituindo
na expressão de
:
Isolando
:
Passo 5
Portanto
Voltando ao fator
(passo 3),
Passo 6
Comentário prático e motivador: a fórmula padrão que se aprende é
e aqui
. Na prova, se lembrar dessa fórmula e da linearidade já resolve rapidinho: basta multiplicar por
. Mantenha em mente a condição de convergência
. Você está indo bem — essa é uma das transformadas básicas e cai com frequência!