Encontre a Transformada de Laplace das funções:
-5 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado dá a função -5\cos(2t) e pede a transformada de Laplace dela. Informações relevantes:
  • A função é -5\cos(2t) definida para t\ge 0.
  • A incógnita da transformada é a variável complexa s.
  • O que se pede é \mathcal{L}\{\,-5\cos(2t)\,\}(s), isto é, \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\big(-5\cos(2t)\big)\,dt.

Passo 2

Vou lembrar a definição da Transformada de Laplace e explicar cada símbolo:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui:
  • f(t) é a função no tempo (aqui f(t)=-5\cos(2t));
  • s é uma variável complexa (normalmente escrevemos s=\sigma+ i\omega);
  • a integral converge (existe) tipicamente quando \operatorname{Re}(s) é suficientemente grande; para funções exponencialmente limitadas, geralmente precisamos de \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 3

Usando a propriedade de linearidade da transformada (constantes saem da integral), temos:
\mathcal{L}\{\,-5\cos(2t)\,\}(s)=-5\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).
Então basta calcular \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).

Passo 4

Calcularei \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(2t)\,dt por integração por partes (duas vezes). Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(2t)\,dt,\qquad J=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(2t)\,dt.
Fazendo integração por partes em I: escolha u=\cos(2t) ( du=-2\sin(2t)\,dt) e dv=e^{-st}dt ( v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Então
I=\left[-\dfrac{e^{-st}\cos(2t)}{s}\right]_0^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right)(-2\sin(2t))\,dt.
O termo de contorno vale \dfrac{1}{s} porque \lim_{t\to\infty}e^{-st}\cos(2t)=0 para \operatorname{Re}(s)>0 e em t=0 obtemos -(-1/s)\cos 0=1/s. Assim surge
I=\dfrac{1}{s}-\dfrac{2}{s}J.
Agora calcule J por partes: escolha u=\sin(2t) ( du=2\cos(2t)\,dt) e dv=e^{-st}dt ( v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Obtemos termo de contorno zero e
J=\dfrac{2}{s}I.
Substituindo J na expressão de I:
I=\dfrac{1}{s}-\dfrac{2}{s}\cdot\left(\dfrac{2}{s}I\right)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{4}{s^{2}}I.
Isolando I:
I\left(1+\dfrac{4}{s^{2}}\right)=\dfrac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{s^{2}}{s^{2}+4}=\dfrac{s}{s^{2}+4}.

Passo 5

Portanto
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+4}\quad\text{(válido para \(\operatorname{Re}(s)>0\)).}á
Voltando ao fator -5 (passo 3),
\mathcal{L}\{\,-5\cos(2t)\,\}(s)=-5\cdot\dfrac{s}{s^{2}+4}=-\dfrac{5s}{s^{2}+4}.

Passo 6

Comentário prático e motivador: a fórmula padrão que se aprende é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}},
e aqui a=2. Na prova, se lembrar dessa fórmula e da linearidade já resolve rapidinho: basta multiplicar por -5. Mantenha em mente a condição de convergência \operatorname{Re}(s)>0. Você está indo bem — essa é uma das transformadas básicas e cai com frequência!

Resposta

-\dfrac{5s}{s^{2}+4}

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