Encontre a Transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- Função a transformar:
, definida para . - Objetivo: calcular
, isto é a integral de Laplace dependendo de .
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada coisa significa. A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Aqui:
-
é a variável de tempo (a variável da função original); -
é uma variável complexa (na prática, para converge geralmente precisamos de ); - O fator
“pesa” a função e a integral de a transforma a função de para uma função de .
Passo 3
Usando linearidade da transformada (posso tirar constantes para fora da integral), escrevo:
Portanto o problema reduz-se a calcular a integral
e depois multiplicar por
.
Passo 4
Faço a substituição
para simplificar a dependência em
. Então
e
. Quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Substituindo na integral:
Agrupando potências de
:
Note que agora a parte que depende de
ficou fora da integral:
.
Passo 5
A integral
é um caso clássico da função Gamma. A definição da função Gamma é
No nosso caso
, logo
, portanto
Para inteiros positivos vale
. Assim
. (Exemplo rápido:
,
,
, etc., para fixar a ideia.)
Logo
Logo
Passo 6
Voltando ao passo em que tiramos a constante
para fora, a transformada pedida é
Lembrando a condição de convergência que apareceu antes: a integral convergirá para
.