Encontre a Transformada de Laplace das funções:
3 t^{4}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função \;3 t^{4}\;.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Função a transformar: \;f(t)=3 t^{4}, definida para t\ge 0.
  • Objetivo: calcular \mathcal{L}\{3 t^{4}\}(s), isto é a integral de Laplace dependendo de s.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar o que cada coisa significa. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável de tempo (a variável da função original);
  • s é uma variável complexa (na prática, para converge geralmente precisamos de \Re(s)>0);
  • O fator e^{-st} “pesa” a função f(t) e a integral de 0 a \infty transforma a função de t para uma função de s.

Passo 3

Usando linearidade da transformada (posso tirar constantes para fora da integral), escrevo:
\mathcal{L}\{3 t^{4}\}(s)=3\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,t^{4}\,dt.
Portanto o problema reduz-se a calcular a integral
I(s)=\int_{0}^{\infty} t^{4} e^{-s t}\,dt,
e depois multiplicar por 3.

Passo 4

Faço a substituição u=s t para simplificar a dependência em s. Então t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Quando t vai de 0 a \infty, u também vai de 0 a \infty. Substituindo na integral:
I(s)=\int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{s}\right)^{4} e^{-u}\,\frac{du}{s}.
Agrupando potências de s:
I(s)=\frac{1}{s^{5}}\int_{0}^{\infty} u^{4} e^{-u}\,du.
Note que agora a parte que depende de s ficou fora da integral: \dfrac{1}{s^{5}}.

Passo 5

A integral \int_{0}^{\infty} u^{4} e^{-u}\,du é um caso clássico da função Gamma. A definição da função Gamma é
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} u^{\alpha-1} e^{-u}\,du\qquad(\Re(\alpha)>0).
No nosso caso \alpha-1=4, logo \alpha=5, portanto
\int_{0}^{\infty} u^{4} e^{-u}\,du=\Gamma(5).
Para inteiros positivos vale \Gamma(n)=(n-1)!. Assim \Gamma(5)=4!=24. (Exemplo rápido: \Gamma(1)=0!=1, \Gamma(2)=1!=1, \Gamma(3)=2!=2, etc., para fixar a ideia.)
Logo
I(s)=\frac{1}{s^{5}}\cdot 24=\frac{24}{s^{5}}.

Passo 6

Voltando ao passo em que tiramos a constante 3 para fora, a transformada pedida é
\mathcal{L}\{3 t^{4}\}(s)=3\cdot I(s)=3\cdot\frac{24}{s^{5}}=\frac{72}{s^{5}}.
Lembrando a condição de convergência que apareceu antes: a integral convergirá para \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{3 t^{4}\}(s)=\frac{72}{s^{5}},\\ \Re(s)>0

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