Encontre a Transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a Transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é , considerada para
.
Pergunta explícita: calcular .
Informações dadas: a função é
Pergunta explícita: calcular
Passo 2
Definição (fórmula) da Transformada de Laplace:
onde
é uma variável complexa e a integral deve convergir (tipicamente exige
para funções polinomiais multiplicadas por expoente).
Propriedade importante que vamos usar: linearidade da transformada. Para qualquer constante ,
Propriedade importante que vamos usar: linearidade da transformada. Para qualquer constante
Então basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 3
Calcular
diretamente pela integral:
Usa-se integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
Avaliaremos os termos:
- Limite do termo de fronteira:
desde que
, porque a exponencial
decai mais rápido que o crescimento linear em
. No
o termo é
. Logo a contribuição da fronteira é
.
- A integral restante é a transformada de
:
Portanto
Passo 4
Agora volta-se à função original usando linearidade:
com região de convergência
.
Passo 5
Comentário rápido para memorização: existe a fórmula geral
para inteiros
. Para
isso dá
, consistente com o cálculo acima. Você pode usar essa fórmula na prova para acelerar.