Encontre a Transformada de Laplace das funções:
-8 t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a Transformada de Laplace da função -8\,t.
Informações dadas: a função é f(t)=-8\,t, considerada para t\ge 0.
Pergunta explícita: calcular \mathcal{L}\{ -8\,t\}(s).

Passo 2

Definição (fórmula) da Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral deve convergir (tipicamente exige \Re(s)>0 para funções polinomiais multiplicadas por expoente).
Propriedade importante que vamos usar: linearidade da transformada. Para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{a\,f(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Então basta calcular \mathcal{L}\{t\}(s) e multiplicar por -8.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{t\}(s) diretamente pela integral:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Usa-se integração por partes: escolha u=t e dv=e^{-s t}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du,
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \left[ -\frac{t}{s}e^{-s t} \right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Avaliaremos os termos:
  1. Limite do termo de fronteira:
\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{T}{s}e^{-s T}\right)=0
desde que \Re(s)>0, porque a exponencial e^{-sT} decai mais rápido que o crescimento linear em T. No t=0 o termo é 0. Logo a contribuição da fronteira é 0.
  1. A integral restante é a transformada de 1:
\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\left[\,-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\qquad(\Re(s)>0).

Passo 4

Agora volta-se à função original usando linearidade:
\mathcal{L}\{-8\,t\}(s)=-8\,\mathcal{L}\{t\}(s)=-8\cdot\frac{1}{s^{2}}=-\frac{8}{s^{2}},
com região de convergência \Re(s)>0.

Passo 5

Comentário rápido para memorização: existe a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para inteiros n\ge 0. Para n=1 isso dá \dfrac{1!}{s^{2}}=\dfrac{1}{s^{2}}, consistente com o cálculo acima. Você pode usar essa fórmula na prova para acelerar.

Resposta

\displaystyle -\frac{8}{s^{2}},\\ \text{para }\Re(s)>0

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