Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t)= \begin{cases}0 & t<\pi \\\ t-\pi & \pi<t<2 \pi \\\\ 0 & t \geq 2 \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\\ t-\pi, & \pi<t<2\pi,\\\\ 0, & t\ge2\pi. \end{cases}
O conteúdo envolve transformada de Laplace de funções “ligadas” por degrau unitário e a aplicação do teorema de translação no tempo. Vamos usar representação com funções de Heaviside e depois calcular a integral necessária.

Passo 2

Reescrevemos f(t) em termos de degraus unitários u(t). Note que f(t) vale t-\pi só entre \pi e 2\pi. Assim
f(t)=(t-\pi)\bigl[u(t-\pi)-u(t-2\pi)\bigr].

Passo 3

Pela propriedade da transformada de Laplace, se g(t)=h(t-a)u(t-a) então
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=e^{-a s}\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
No nosso caso, h(t)=t para 0<t<\pi e zero fora, e o fator u(t-2\pi) remove a parte além de t=\pi em h(t). Logo basta calcular
G(s)=\int_{0}^{\pi}t\,e^{-s t}\,dt
e depois multiplicar por e^{-\pi s} e subtrair a parte deslocada por 2\pi.

Passo 4

Calculamos
\int_{0}^{\pi} t\,e^{-s t}\,dt
por partes, tomando
\begin{cases} u=t, & dv=e^{-s t}\,dt,\\\ du=dt, & v=-\tfrac{1}{s}e^{-s t}. \end{cases}
Então
\int_{0}^{\pi}t\,e^{-s t}\,dt =\Bigl[-\tfrac{t}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\pi} +\int_{0}^{\pi}\tfrac{1}{s}e^{-s t}\,dt =-\tfrac{\pi}{s}e^{-s\pi} +\tfrac{1}{s}\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\pi}.
Isso dá
\int_{0}^{\pi}t\,e^{-s t}\,dt =-\tfrac{\pi}{s}e^{-s\pi} -\tfrac{1}{s^2}\bigl(e^{-s\pi}-1\bigr) =\tfrac{1}{s^2}-e^{-s\pi}\Bigl(\tfrac{\pi}{s}+\tfrac{1}{s^2}\Bigr).

Passo 5

Voltando à transformada de f(t), temos
F(s) =e^{-\pi s}\Bigl[\tfrac{1}{s^2}-e^{-s\pi}\bigl(\tfrac{\pi}{s}+\tfrac{1}{s^2}\bigr)\Bigr] =\frac{e^{-\pi s}}{s^2}-e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{\pi}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr).

Resposta

\boxed{F(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2}-e^{-2\pi s}\Bigl(\frac{1}{s^2}+\frac{\pi}{s}\Bigr).}

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