Seja
e suponha que
e
sejam funções admissíveis em
e que
seja contínua por partes. Demonstre que vale a fórmula seguinte:
Use isso para resolver o seguinte
:
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! Primeiro, temos que demonstrar uma propriedade da transformada de Laplace para a terceira derivada de uma função. Depois, vamos usar essa propriedade para resolver uma equação diferencial com algumas condições iniciais. Então, o conteúdo principal aqui é Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar entender como a transformada de Laplace se comporta com derivadas de funções.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no tempo $ t $ para uma função no domínio de frequência $ s $. A fórmula é:
Isso é super útil para resolver equações diferenciais, porque transforma derivadas em álgebra simples.
Passo 3
Agora, vamos focar na transformada da terceira derivada de $ f(t) $. Sabemos que para a primeira derivada temos:
E para a segunda derivada:
Seguindo esse padrão, para a terceira derivada, a transformada de Laplace será:
Passo 4
Vamos demonstrar essa fórmula. Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace para a terceira derivada:
Usando integração por partes sucessivamente e levando em conta as condições iniciais, conseguimos chegar na expressão:
Isso confirma a fórmula que queríamos demonstrar.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa propriedade para resolver a equação diferencial dada:
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Usando as fórmulas das derivadas que vimos:
Como as condições iniciais são zero, simplificamos para:
Passo 6
Isolando $ \mathcal{L}{y} $:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então:
Agora, vamos simplificar cada termo separadamente.
Passo 7
Vamos decompor a fração para facilitar a inversa da transformada:
Essas frações são complexas, então vamos usar frações parciais ou tabelas de transformadas para achar $ y(t) $.
Passo 8
Após encontrar as frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo, combinamos os resultados para obter a solução no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial é: