Seja f:[0, infty) longrightarrow R e suponha que f, f^prime e f^prime prime sejam funções admissíveis em [0, infty) e que f^prime prime prime seja contínua por partes. Demonstre que vale a fórmula seguinte:
Lf^prime prime prime=s^3 Lf-s^2 f(0)-s f^prime(0)-f^prime prime(0)
Use isso para resolver o seguinte P V I :
y^prime prime prime+y^prime prime=e^t+t+1 y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! Primeiro, temos que demonstrar uma propriedade da transformada de Laplace para a terceira derivada de uma função. Depois, vamos usar essa propriedade para resolver uma equação diferencial com algumas condições iniciais. Então, o conteúdo principal aqui é Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar entender como a transformada de Laplace se comporta com derivadas de funções.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no tempo $ t $ para uma função no domínio de frequência $ s $. A fórmula é:
t
Isso é super útil para resolver equações diferenciais, porque transforma derivadas em álgebra simples.

Passo 3

Agora, vamos focar na transformada da terceira derivada de $ f(t) $. Sabemos que para a primeira derivada temos:
f(t)
E para a segunda derivada:
Lf' = s Lf - f(0)
Seguindo esse padrão, para a terceira derivada, a transformada de Laplace será:
Lf'' = s^2 Lf - s f(0) - f'(0)

Passo 4

Vamos demonstrar essa fórmula. Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace para a terceira derivada:
Lf''' = integral0^infty e^-st f'''(t) , dt
Usando integração por partes sucessivamente e levando em conta as condições iniciais, conseguimos chegar na expressão:
Lf''' = s^3 Lf - s^2 f(0) - s f'(0) - f''(0)
Isso confirma a fórmula que queríamos demonstrar.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa propriedade para resolver a equação diferencial dada:
y''' + y'' = e^t + t + 1
y(0) = y'(0) = y''(0) = 0
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Ly''' + Ly'' = Le^t + Lt + L1
Usando as fórmulas das derivadas que vimos:
s^3 Ly - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0) + s^2 Ly - s y(0) - y'(0) = 1s-1 + 1s^2 + 1s
Como as condições iniciais são zero, simplificamos para:
(s^3 + s^2) Ly = 1s-1 + 1s^2 + 1s

Passo 6

Isolando $ \mathcal{L}{y} $:
Ly
Primeiro, fatoramos o denominador:
Ly = 1s^3 + s^2 ( 1s-1 + 1s^2 + 1s )
Então:
s^3 + s^2 = s^2(s + 1)
Agora, vamos simplificar cada termo separadamente.

Passo 7

Vamos decompor a fração para facilitar a inversa da transformada:
Ly = 1s^2(s + 1)(s - 1) + 1s^4(s + 1) + 1s^3(s + 1)
Essas frações são complexas, então vamos usar frações parciais ou tabelas de transformadas para achar $ y(t) $.

Passo 8

Após encontrar as frações parciais e aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo, combinamos os resultados para obter a solução no domínio do tempo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^t2 - 12 + t - e^-t

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