Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
.
Passo 1
Enunciado resumido: a EDO é de quarta ordem não homogênea com degrau deslocado, dado por
e condições iniciais nulas até a 3ª derivada. O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver ODEs com passo unitário deslocado.
Passo 2
Aplicar Laplace nas duas mãos. Como as condições iniciais são zero, obtemos a equação no domínio
:
Passo 3
Isolar
e fatorar o denominador:
Podemos escrever
, onde
.
Passo 4
Fazer frações parciais em
Resolvendo o sistema resulta em
.
Passo 5
Calcular a antitransformada de
:
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Passo 6
Simplificar
usando
e
. Isso dá
e finalmente
y(t)=\Bigl(\frac14-\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t\Bigr)-u_{\pi}(t)\Bigl(\frac14+\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t\Bigr).
y(t)=\Bigl(\frac14-\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t\Bigr)-u_{\pi}(t)\Bigl(\frac14+\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t\Bigr).
Resposta
y(t)=\Bigl(\tfrac14-\tfrac13\cos t+\tfrac1{12}\cos2t\Bigr)-u_{\pi}(t)\Bigl(\tfrac14+\tfrac13\cos t+\tfrac1{12}\cos2t\Bigr)