Encontre a solução da EDO com condições iniciais. y^iv+5 y^prime prime+4 y=1-upi(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0.

Passo 1

Enunciado resumido: a EDO é de quarta ordem não homogênea com degrau deslocado, dado por y^(iv)+5y''+4y=1-upi(t) e condições iniciais nulas até a 3ª derivada. O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver ODEs com passo unitário deslocado.

Passo 2

Aplicar Laplace nas duas mãos. Como as condições iniciais são zero, obtemos a equação no domínio s:
(s^4+5s^2+4)Y(s)= L1-upi(t)=1s-e^-pi ss

Passo 3

Isolar Y(s) e fatorar o denominador:
Y(s)=1-e^-pi ss(s^2+1)(s^2+4)
Podemos escrever Y(s)=G(s)-e^-pi sG(s), onde G(s)=1/[s(s^2+1)(s^2+4)].

Passo 4

Fazer frações parciais em
G(s)=1s(s^2+1)(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+1+Ds+Es^2+4
Resolvendo o sistema resulta em A=1/4,;B=-1/3,;C=0,;D=1/12,;E=0.

Passo 5

Calcular a antitransformada de G(s):
h(t)= L^-1G(s)=14-13cos t+112cos2t,
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y(t)=h(t)-upi(t),h(t-pi)

Passo 6

Simplificar h(t-pi) usando cos(t-pi)=-cos t e cos2(t-pi)=cos2t. Isso dá
h(t-pi)=14+13cos t+112cos2t
e finalmente
y(t)=\Bigl(\frac14-\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t\Bigr)-u_{\pi}(t)\Bigl(\frac14+\frac13\cos t+\frac1{12}\cos2t\Bigr).

Resposta

y(t)=\Bigl(\tfrac14-\tfrac13\cos t+\tfrac1{12}\cos2t\Bigr)-u_{\pi}(t)\Bigl(\tfrac14+\tfrac13\cos t+\tfrac1{12}\cos2t\Bigr)

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