Encontre a transformada de Laplace inversa de cada função a seguir.
F(s)=2 s+4(s-2)(s^2+4 s+3)

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a transformada inversa de
F(s)=2s+4(s-2)l(s^2+4s+3r).
O conteúdo da matéria envolve transformada de Laplace inversa através de decomposição em frações parciais. Precisaremos fatorar o denominador, decompor em frações simples e recorrer à fórmula
L^-1tfrac1s-a=e^at.

Passo 2

Fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
s^2+4s+3=(s+1)(s+3)
Logo,
F(s)=2s+4(s-2)(s+1)(s+3)
Propomos a decomposição em frações parciais:
2s+4(s-2)(s+1)(s+3) =As-2+Bs+1+Cs+3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+1)(s+3) obtemos:
2s+4 = A,(s+1)(s+3) + B,(s-2)(s+3) + C,(s-2)(s+1)
Para determinar A, B e C, usamos substituições convenientes:
  1. Para s=2:
2cdot2+4 = A,(2+1)(2+3) ;Longrightarrow; 8 = 15A ;Longrightarrow; A=815
  1. Para s=-1:
2(-1)+4 = B,(-1-2)(-1+3) ;Longrightarrow; 2 = -6B ;Longrightarrow; B=-13
  1. Para s=-3:
2(-3)+4 = C,(-3-2)(-3+1) ;Longrightarrow; -2 = 10C ;Longrightarrow; C=-15

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição:
F(s) =tfrac815s-2 -tfrac13s+1 -tfrac15s+3
Aplicando a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando
L^-1tfrac1s-a=e^at, obtemos:
f(t) =815,e^2t -13,e^-t -15,e^-3t

Resposta

L^-1F(s)(t) = 815e^2t ;-;13e^-t;-;15e^-3t

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