Calcule a área da superfície S em cada caso:
(b) S é a porção do plano x+y+z=a, a>0, interna ao cilindro x^2+y^2=a^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície definida pelo plano
x + y + z = a, a>0
que está sobre o cilindro
x^2 + y^2 = a^2
O conteúdo principal aqui é calcular área de superfície de um gráfico z = f(x,y) sobre uma região R no plano xy, usando a fórmula
área(S) = integral duplaR raiz1 + fx^2 + fy^2,dx,dy á

Passo 2

Expressamos o plano como gráfico:
z = f(x,y) = a - x - y
Calculamos as derivadas parciais:
fx = partialpartial x(a - x - y) = -1, fy = partialpartial y(a - x - y) = -1

Passo 3

O fator de correção da área é
raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3
Logo
dS = raiz3,dx,dy

Passo 4

A região de projeção R é o disco
R = (x,y)mid x^2 + y^2 <= a^2,
cuja área é pi a^2. Portanto
área(S) = integral duplaR raiz3,dx,dy = raiz3,l(área(R)r) = raiz3,pi a^2 áá

Resposta

raiz3,pi a^2

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