Questão 4. Além dos casos tratados em aula, há um outro caso simples de equação de
ordem redutível à
ordem. Se uma função
satisfaz a condição
dizemos que
é homogênea de grau
em
e suas derivadas. Neste caso a equação diferencial
se reduz à primeira ordem pela substituição
Use este método para resolver:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando o fato de que a função
é homogênea de grau
em
e suas derivadas. O método consiste em fazer a substituição
reduzindo a ordem da equação de 2ª para 1ª.
Passo 2
Verificamos a homogeneidade: para
,
logo
.
Passo 3
Fazendo
onde
.
Passo 4
Substituindo em
:
Isso dá
Para
dividimos por
e obtemos
Passo 5
A equação de primeira ordem
é separável:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando a
, temos
onde
.
Resposta
A solução geral é
com
e
constantes arbitrárias.