Questão 4. Além dos casos tratados em aula, há um outro caso simples de equação de 2^a ordem redutível à 1^a ordem. Se uma função F(x, y, y^prime, y^prime prime) satisfaz a condição
F(x, lambda y, lambda y^prime, lambda y^prime prime)=lambda^k F(x, y, y^prime, y^prime prime)
dizemos que F(x, y, y^prime, y^prime prime) é homogênea de grau k em y e suas derivadas. Neste caso a equação diferencial F(x, y, y^prime, y^prime prime)=0 se reduz à primeira ordem pela substituição
z=z(x)=y^primey , y^prime=z y , y^prime prime=y z^prime+y^prime z=y z^prime+y z^2
Use este método para resolver:
x y y^prime prime=x(y^prime)^2+y y^prime.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x,y,y'' ;=; x,(y')^2 ;+; y,y'
usando o fato de que a função
F(x,y,y',y'') = x,y,y'' - x,(y')^2 - y,y'
é homogênea de grau k em y e suas derivadas. O método consiste em fazer a substituição
z(x) = y'y,
reduzindo a ordem da equação de 2ª para 1ª.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade: para lambdaneq0,
Fl(x,lambda y,lambda y',lambda y''r) = x,(lambda y),(lambda y'') - x,(lambda y')^2 - (lambda y),(lambda y') = lambda^2,F(x,y,y',y''),
logo k=2.

Passo 3

Fazendo
y' = z,y, y'' = ddx(z,y) = y,z' + y',z = y,z' + y,z^2,
onde z' = dfracdzdx.

Passo 4

Substituindo em F=0:
x,y,(y,z' + y,z^2) = x,(y,z)^2 + y,(y,z)
Isso dá
x,y^2,z' + x,y^2,z^2 = x,y^2,z^2 + y^2,z ;Longrightarrow; x,y^2,z' = y^2,z
Para yneq0 dividimos por y^2 e obtemos
x,z' = z

Passo 5

A equação de primeira ordem
x,dzdx = z
é separável:
dzz = dxx ;Longrightarrow; ln|z| = ln|x| + C1 ;Longrightarrow; z = C1',x
onde C1' = e^C1 é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando a y, temos
y'y = z = C1',x ;Longrightarrow; dyy = C1',x,dx ;Longrightarrow; ln|y| = C1'2,x^2 + C2 ;Longrightarrow; y = C3,exp!l(tfracC1'2,x^2r),
onde C3 = e^C2.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C3 exp!l(tfracC1'2,x^2r),
com C1' e C3 constantes arbitrárias.

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