Exercício 6. Classifique as seguintes E.D.O., indique todos os possíveis métodos de resolução e resolva por um deles:
(cos x) y^prime=(sen x) y

Passo 1

O enunciado dá a E.D.O. de primeira ordem
(cos x),y' = (sen x),y
e pede que a classifiquemos, indiquemos todos os métodos possíveis e, em seguida, resolvamos por um deles. O conteúdo é E.D.O. de primeira ordem, que pode ser vista como linear homogênea ou como separável.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, dividindo ambos os lados por cos x (supondo cos xneq0),
y' = sen xcos x,y = tan x;y
Isto mostra que a equação é
bul<=t de primeira ordem;
bul<=t linear homogênea do tipo y' - tan x,y = 0;
bul<=t separável, pois pode ser escrita como uma função de y só vezes uma função de x.

Passo 3

Métodos possíveis para resolver essa E.D.O.:
1. Separação de variáveis.
2. Equação linear de primeira ordem usando fator integrante.
Vamos resolver pelo método de separação de variáveis.

Passo 4

Na separação de variáveis, colocamos todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro:
dyy = tan x,dx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dyy = integral tan x,dx Longrightarrow lnl|yr| = -lnl|cos xr| + C,
onde usamos integral tan x,dx = -ln|cos x| + constante.

Passo 6

Fazendo exponencial em ambos os lados,
ln|y| = lnl|sec xr| + C Longrightarrow |y| = e^C,l|sec xr|
Definindo C1 = pm e^C, obtemos a solução geral
y(x) = C1,sec x,
válida em intervalos onde cos xneq0.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C,sec x,
com C constante arbitrária.

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