Encontre a transformada de Laplace inversa de cada função a seguir.
F(s)=1(s-1)(s+2)(s+4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=1(s-1)(s+2)(s+4)
Vamos usar decomposição em frações parciais e a propriedade
L^-1tfrac1s-a=e^at.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, escrevemos
1(s-1)(s+2)(s+4) =As-1+Bs+2+Cs+4
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+2)(s+4) obtém-se:
1 = A(s+2)(s+4) + B(s-1)(s+4) + C(s-1)(s+2)

Passo 3

Para determinar A, B e C, plugamos as raízes de cada denominador:
Quando s=1:
1 = A,(1+2)(1+4) = 15A Rightarrow A = tfrac115
Quando s=-2:
1 = B,(-2-1)(-2+4) = -6B Rightarrow B = -tfrac16
Quando s=-4:
1 = C,(-4-1)(-4+2) = 10C Rightarrow C = tfrac110

Passo 4

Substituindo os coeficientes em F(s), fica
F(s) = tfrac115s-1 - tfrac16s+2 + tfrac110s+4
Aplicando a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando
L^-1tfrac1s-a=e^at, obtemos
f(t) = tfrac115e^t - tfrac16e^-2t + tfrac110e^-4t

Resposta

f(t) = 115e^t ;-;16e^-2t;+;110e^-4t

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