Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo a uma equação de primeira ordem:
y^prime prime+(y^prime)^2=y, y(0)=32, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + l(y'r)^2 = y,
com condições iniciais y(0)=tfrac32 e y'(0)=1.
O conteúdo é redução de ordem em EDO de segunda ordem, usando a substituição v(x)=y'(x).

Passo 2

Defina
v = y', y'' = dvdx = dvdy,dydx = v,dvdy
Substituindo em y'' + (y')^2 = y obtém-se
vdvdy + v^2 = y

Passo 3

Para transformar em equação linear, ponha w = v^2. Então
dwdy = 2vdvdy Longrightarrow vdvdy = tfrac12dwdy,
e a EDO vira
tfrac12dwdy + w = y Longrightarrow dwdy + 2w = 2y

Passo 4

É uma EDO linear em w(y) com fator integrante e^2y. Multiplicando por ele:
ddyl(w,e^2yr)=2y,e^2y
Integrando em y:
w,e^2y=integral2y,e^2ydy + C =e^2yl(y-tfrac12r)+C Longrightarrow w=y-tfrac12 + C e^-2y

Passo 5

Voltando a v^2=w:
(y')^2 = y - tfrac12 + C e^-2y
Aplique y(0)=tfrac32, y'(0)=1:
1^2 = 32 - 12 + C e^-3 ;implies; C=0
Logo
(y')^2 = y - tfrac12

Passo 6

Escolhendo o sinal positivo ( y'(0)>0), a EDO de primeira ordem é
dydx = raizy - tfrac12

Passo 7

Separe variáveis e integre:
integral dyraizy-tfrac12 = integral dx Longrightarrow 2raizy-tfrac12=x+D

Passo 8

Use y(0)=tfrac32 em 2raiztfrac32-tfrac12=D para achar D=2. Assim
raizy-tfrac12=x+22 ;Longrightarrow; y = (x+2)^24 + tfrac12

Resposta

y(x) = x^24 + x + 32

Exercícios relacionados